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otras palabras, sería una línea más
FIG.12
pequeña que cualquier otra línea
concebible, pero que, no obstante,
y
no se reduce a ser un punto.
a~--- d+x- ------~b
Pensemos entonces en cada
dx = infinitésimo segmento perpendicular a la base,
~---- -- -- - no como un segmento matemático,
sino como un rectángulo de base
infinitesimal dx (figura 12); dx es la escritura que usaba Leibniz
para los infinitésimos y que hoy en día, como veremos enseguida,
se usa todavía en algunas nomenclaturas del cálculo.
La figura no es pensada entonces como una suma de segmen-
tos, sino como la suma de rectángulos de base infinitesimal. El
reemplazo de segmentos por rectángulos de base infinitesimal
tiene una doble ventaja; por un lado, como la base de cada rec-
tángulo es una línea infinitesimal (y no es un punto), entonces el
rectángulo no tiene área igual a cero, por lo que evitamos la para-
doja anterior. Por otra parte, como la base de cada rectángulo es
infinitamente pequeña, se logra llenar todos los intersticios de la
figura sin dejar nada descubierto.
La base de cada rectángulo es entonces dx y su altura es y.
Por lo tanto, el área de cada rectángulo de base infinitesimal es
y • dx, que también se puede escribir, omitiendo el punto de mul-
tiplicación, como y dx. Para calcular el área de la figura, en teoría
tendríamos que sumar todos los y dx para x entre a y b; Leibniz
escribía esta idea de la siguiente forma:

b
fydx.
a

La línea curvada que aparece a la izquierda del símbolo es
una letra S deformada (por la inicial de summa, que es suma en
latín). El símbolo completo se llama integral y es usado todavía
hoy para representar el área de la figura limitada por una curva y
un segmento ( además de tener muchísimas otras aplicaciones en
el cálculo). Y así como el método de Eudoxo le permitió deducir
la fórmula para calcular el área de un círculo, de la misma forma,

84 EL CÁLCULO Y EL INFINITO