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corresponde un número real y, recíprocamente, a cada número
real le corresponde una sucesión fundamental. Todo número real
está definido por una sucesión fundamental; la sucesión del ejem-
plo ante1ior define, obviamente, el número n.
Una aclaración importante es que no debe confundirse lo que
hemos dicho más arriba con la existencia de una corresponden-
cia uno-a-uno entre sucesiones fundamentales y números reales;
porque, aunque a cada sucesión le corresponde un solo número
real, en realidad diferentes sucesiones pueden corresponderse
con el mismo número. Por ejemplo, la sucesión 3,1; 3,141; 3,14159;
3,1415926; 3,141592653; ... , que se obtiene agregando cada vez dos
dígitos de n, es una sucesión fundamental diferente a la anterior
que también se corresponde con el número n.
¿Cómo sabernos que 0,110001000000000000000001000 ... , es
decir, el número de Llouville existe?¿ Cómo podernos asegurar que
esa expresión representa en verdad un número real? (Recuérdese
que Kronecker rechazaba esa afirmación.) Para Cantor, basta con
mostrar una sucesión fundamental asociada a ese número, que en
este caso es 0,1; 0,11; 0,110001; ... La existencia de esa sucesión
fundamental, según Cantor, garantiza la existencia del número.
Veamos cómo la definición de Cantor expresa, tal corno debe
ser, el hecho de que a cada punto de la recta numérica le corres-
ponde un número real.
Recordemos que a los números O y 1 se les asignan puntos
arbitrarios de la recta y que, una vez que estos han sido elegidos,
quedan totalmente determinadas las posiciones que corresponden
a todos los números racionales. Supongamos ahora que tenernos
un punto P al que no le ha correspondido ningún número racional
(figura 13). ¿ Cómo podernos asegurar que a ese punto Ple corres-
ponde un número ( obviamente irracional)?
Para asegurarlo, tornarnos una
sucesión de puntos que correspon-
FIG. 13
dan a números racionales y que p
estén cada vez más cerca del punto ¡
P. Los números racionales en cues-
3.1 3.14
tión formarán una sucesión funda- 3,1415
mental, a esa sucesión fundamental

EL CÁLCULO Y EL INFINITO 89