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de áreas y volúmenes que estaban totalmente fuera del alcance de
los métodos de la geometría griega ( como el área de superficies
con forma de silla de montar o el volumen de cuerpos aovados).
A lo largo del siglo xvur, de la mano, entre otros, de los hermanos
Bernoulli y de Leonhard Euler, el cálculo diversificó sus métodos
y sus aplicaciones, y se volvió, entre otras cosas, indispensable
para la física matemática, que no podría haber existido sin él.
Pero precisamente a causa de esa indispensabilidad del cál-
culo, con el correr de las décadas se volvió cada vez más impe-
riosa la necesidad de darle una fundamentación lógica precisa,
la necesidad de basar sus razonamientos en conceptos claros e
indubitables. Esta tarea de fundamentar lógicamente el cálculo
fue emprendida por muchos matemáticos a lo largo del siglo xrx,
entre ellos Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor.

LOS NÚMEROS REALES REVISIT ADOS

El aporte más importante de Weierstrass en cuanto a la fundamen-
tación del cálculo fue la introducción del concepto de límite, que
eliminó definitivamente a los infinitésimos (a pesar de eso, como
dijimos antes, la escritura dx sobrevive todavía en algunas nomen-
claturas). Sin entrar en detalles técnicos, podemos decir que el
límite básicamente sustituye la idea de un segmento infinitamente
pequeño por la idea de un segmento que es solo en potencia infi-
nitamente pequeño. Es decir, en lugar de pensar en rectángulos
de base infinitesimal, pensamos en rectángulos normales que se
van afinando cada vez más hasta hacerse tan estrechos como se
desee. Razonando en base a esta idea dinámica de magnitudes que
se van haciendo cada vez más pequeñas (infinitamente pequeñas,
pero solo en potencia) es posible llegar a las mismas fórnmlas que
se obtenían en base a los infinitésimos, pero ahora sobre una base
lógica más segura.
Sin embargo, Weierstrass no hablaba de segmentos ni de
rectángulos, sino que expresaba todas sus ideas numéricamente,
en base a fórmulas. Dijimos antes que un segmento podía pen-

86 EL CÁLCULO Y EL INFINITO