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En Halle, a principios de la década de 1870, Cantor, que había
sido alumno de W eierstrass en Berlín y estaba, por lo tanto, muy
compenetrado con el problema de la fundamentación del cálculo,
comenzó a trabajar en la búsqueda de una definición rigurosa de los
números reales. Finalmente, expuso sus conclusiones en un artículo
que tituló «Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der
trigonometrischen Reihen» [Sobre la extensión de un teorema de la
teoría de las series trigonométricas], publicado en 1872 en Mathe-
matische Annalen. Antes, Dedekind había trabajado también en el
mismo problema, lo que provocó entre ambos algunas fricciones
por cuestiones de prioridad.
La definición que encontró Cantor se basa en el concepto de
sucesión fundamental. Dijimos en el capítulo anterior que una su-
cesión está formada por un primer número, luego otro, luego otro,
y así siguiendo. Una sucesión fundamental, según Cantor, es una
sucesión formada por números racionales en la cual, a medida que
se avanza por ella, la diferencia entre dos términos cualesquiera,
sean o no consecutivos, se hace tan pequeña como se desee.
Tomemos, por ejemplo, la sucesión formada por los números
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265;
3,141592653; 3,1415926535; ... (en cada paso, estamos agregando un
dígito de la expresión decimal den). Observemos que, por ejemplo,
del quinto término en adelante, todos los números de la sucesión
comienzan con 3,14159 ... Esto quiere decir que a partir del quinto
número la diferencia entre dos términos de la sucesión, sean o no
consecutivos en ella, comienza con cinco ceros inmediatamente
detrás de la coma decimal y es, por lo tanto, menor que 0,00001
( que tiene solo cuatro ceros detrás de la coma decimal). De manera
similar, a partir del sexto número la diferencia entre dos términos
de la sucesión, consecutivos o no, es menor que 0,000001; a partir
del séptimo, la diferencia entre dos términos de la sucesión, conse-
cutivos o no, es menor que 0,0000001; y así sucesivamente.
Concluimos entonces que 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;
3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653; 3,1415926535; ... es
una sucesión fundamental.
Para Cantor, la propiedad que define a los números reales
está dada por el hecho de que a cada sucesión fundamental le

88 EL CÁLCULO Y EL INFINITO