Page 66 - 04 Max Planck

- El segundo principio de la termodinánúca permite obtener
la relación entre la energía y la temperatura a partir de la
expresión de la entropía.

Y, finalmente, la interpretación probabilística de la entropía de
Boltzmann permite calcular la entropía del cortjunto de osciladores.

DEDUCCIÓN MATEMÁTICA DE LA LEY DE PLANCK

Para calcu lar la entropía de un conjunto de osciladores de una frecuencia
determinada S =klnn es preciso calcular el número de configuraciones po-
sibles n . Este vendrá dado por todas las formas en que podemos repartir los
P elementos de energía de valor E entre los N osciladores. Representemos
los elementos de energía con círculos, y los límites de los elementos que co-
rresponden a un oscilador con cruces. Podemos escribir una configuración
cualquiera de esta forma:

l°'oscilador 3c, oscilador
oooxoxoooxooxooo

2º oscilador 4º oscilador
Este ejemplo significa que en el primer oscilador hay tres elementos de ener-
gía, en el segundo uno, en el tercero tres, en el cuarto dos, y así sucesivamen-
te. El número de configuraciones total posible lo da la combinatoria y resulta:

Q = ~( N_+~P_-~l~)!
P!(N - 1)!.
En cada cadena tenemos N + P-1 símbolos. El factorial del numerador apare-
ce porque da todas las posibles combinaciones de cruces y círculos. Los fac-
toriales del denominador aparecen porque el orden en que estén los círcu los
o las cruces no es relevante, ya que osciladores y elementos de energía son
indistinguibles. Planck recurrió entonces a una conocida aproximación, la
aproximación de Stirling, según la cual lnn!=n lnn-n. Y como N y P son mucho
mayores que 1, la entropía resulta ser entonces:

S = k [CN+P)ln(N +P)-PlnP-NlnNj.

66 EL NACIMIENTO DEL CUANTO DE ENERGÍA