Page 23 - 18 Godel

1 .... 1
2 .... 4
3 .... 9
4 .... 16
5 .... 25

Cada número de la primera secuencia se correspondería
exactamente con otro de la segunda, sin que faltara o sobrara
ninguno por cualquiera de ambas partes. Si pueden emparejarse
perfectamente, esto quiere decir que hay tantos números cuadra-
dos como números en general, contradiciendo lo que dijimos .
previamente: la parte sería igual al todo, no menor que él. El in-
finito en acto, concluyó Galileo, es un absurdo. De hecho, casi
doscientos cincuenta años después el matemático alemán Georg
Cantor (1845-1918) se encontraría ante la misma situación, pero
su conclusión sería exactamente la opuesta. Cantor concluyó
que el principio aristotélico omne totum est maius sua parte
- «el todo es mayor que las partes»- debe ser abandonado
cuando se habla del infinito.
El tercer ejemplo es un párrafo de una carta escrita en 1831
por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855):

Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo,
lo que en matemáticas nunca se permite. El infinito es simplemente
una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos ran-
gos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que a otros
se les permite incrementarse sin restricción.

Decía Gauss que el infinito es solamente una magnitud (siem-
pre finita) a la que se le permite crecer sin limitaciones y que
nunca puede ser entendido como algo completo. Una vez más,
vemos rechazado el infinito en acto.
Estos son solamente tres ejemplos de los muchos que podrían
citarse en el mismo sentido. Sin embargo, apenas cuarenta años
después de la carta de Gauss, Georg Cantor se vio forzado a intro-
ducir en las matemáticas, y en el pensamiento humano en general,
a ese monstruo tantas veces resistido: el infinito en acto.

LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS 23