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EL INFINITO DE CANTOR

En 1870, Georg Cantor era un joven y desconocido matemático que
comenzaba a hacer sus primeras investigaciones en la Universidad
alemana de Halle; había estudiado en Berlín, que en aquella época
era uno de los centros de investigación matemática más in1portan-
tes del mundo ( otros centros destacados de la época eran Gotinga,
también en Alemania, y París). Allí, en Berlín, entre 1867 y 1869
Cantor había hecho sus primeros trabajos bajo la dirección de
Leopold Kronecker, quien años más tarde se transformaría en su
peor enemigo. Esos primeros trabajos de investigación no inlpre-
sionaron mucho a sus profesores, quienes incluso opinaron que
Cantor jamás llegaría a crear una obra genuinamente original o
que dejara huella en la historia de las matemáticas ( opinión errada,
si alguna vez hubo alguna). Y es así que, en 1870, Cantor debió
trasladarse del centro principal de Berlín a la periferia de Halle.
Cuando un matemático investiga, su objetivo es siempre la re-
solución de un problema específico. Incluso hoy en día, si se le
pregunta a un matemático en qué tema está trabajando, su res-
puesta seguramente consistirá en el enunciado del problema que
está intentando resolver. Para entender el problema que estudiaba
Cantor en 1870 debemos hablar brevemente de las series de Fourier.
A principios del siglo XIX el matemático francés Joseph
Fourier desarrolló un método que le permitía descomponer cual-
quier onda periódica en una sun1atoria de ondas elementales es-
pecíficas (todas las cuales resultan de modificar la amplitud, la
frecuencia o la fase de una onda inicial única). Fourier utilizó este
método con gran éxito para estudiar fenómenos ondulatorios
como la propagación del calor o la vibración de una cuerda. Como
estas sumatorias normalmente involucran una cantidad infinita
(en potencia) de ondas, y en matemáticas a una sumatoria infi-
nita se la suele llamar una «serie», a este método se le dio el nom-
bre de «series de Fourier». Actualmente sigue siendo una
herramienta esencial en muchas ramas de las matemáticas, así
como de la física y de la ingeniería.
En la década de 1860, tan1bién en Halle, el matemático ale-
mán Eduard Reine trabajaba en el problema de determinar si la

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