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Veamos un ejemplo sencillo. Un panadero hornea diaria-
mente un tipo de barras de pan. Por una parte, quiere satisfacer a
su clientela y tener el pan suficiente para que todos sus clientes
tengan su pan, pero por otro lado no quiere tener género sobrante
que no puede vender al otro día. Haciendo un estudio de costes y
de demanda, podríamos llegar a encontrar la solución que le da
mayor ganancia, y es perfectamente asumible que la solución será
un número natural. Si hace varios tipos de piezas de pan, por
ejemplo de centeno, maíz y trigo, la solución no sería un único
número, sino un conjunto de tres números que dijese cuántas pie-
zas de cada tipo ha de fabricar. Esa solución sería un vector.
Pensemos ahora en otro ejemplo de optimización. Estamos
en la calle y alguien nos pregunta cómo ir a la estación de autobu-
ses de la manera más rápida posible. La respuesta no puede ser un
número, ni siquiera una lista de números. La respuesta lógica sería
una explicación del camino: por dónde hay que avanzar y cuántos
metros, dónde hay que girar y en qué sentido y ese tipo de indica-
ciones. Ese tipo de respuesta se adapta mejor a describirla mate-
máticamente con una función, que le dé al que la usa un criterio
de actuación, dependiendo del sitio en que se encuentra en cada
momento de su camino. Estos problemas de optimización en los
que la solución es una función es lo que se conoce como proble-
mas variacionales y son de gran aplicación en física.
En 1829 apareció una publicación corta de Gauss acerca de
un problema de cálculo variacional sobre mecánica, en el que
introdujo el principio de mínima ligadura. Por «ligadura»,
Gauss entendía las restricciones a las que está sometido el movi-
miento en todo sistema físico. Pues bien, Gauss postuló que la
naturaleza tiende a hacer mínima la ligadura. En palabras del pro-
pio Gauss:

Es muy notable que los movimientos libres, cuando no pueden coe-
xistir con las condiciones necesarias, resultan ser modificados por
la naturaleza exactamente de la misma manera que el matemático,
según el método de los mínimos cuadrados, reconcilia observaciones
ligadas entre sí por dependencias necesarias. Podlia proseguirse más
allá con esta analogía, pero no pretendo hacerlo ahora.

144 APORTACIONES EN GEOMETRÍA Y EN FÍSICA