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LA CURVATURA DE GAUSS

En geometría se define una curva (en forma paramétrica) en el plano como
la aplicación ,x(s)-(x(s),y(s)), siendo s número real y las funciones x(s) e
y(s) nos dan las coordenadas en el plano. Reciben el nombre de paramétri-
cas aquellas ecuaciones en que las variables x e y, cada una separadamente,
están expresadas en función de de una misma tercera variable o parámetro,
en nuestro caso s. La curva ha de ser una función continua y diferenciable, es
decir, de trazo suave y sin picos. Por ser diferenciable, en cada puntos de la
curva se puede definir la tangente de esa curva. Por definición la curvatura de
a en s se define como el ángulo que forma la tangente a la curva en el puntos,
t(s), con una dirección fija del plano, que por comodidad suele tomarse como
el eje OX de coordenadas, es decir:

e (s) = ángulo formado entre < t(s), eje OX >.
Así que la curvatura ordinaria k(s) de una curva se define como el diferencial
de la función e, o sea:

k(s) = 8'(s).
k(s) en realidad lo que mide es la separación de la curva con su recta tangen-
te. La curvatura de Gauss, que en cierta forma generaliza este concepto para
superficies, se puede definir de varias maneras, siendo la más sencilla la dada
por la expresión:

donde k y k son las curvaturas principales en cada punto de la superficie.
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Una isometría es una aplicación matemática entre dos es-
pacios que mantiene invariante las distancias entre puntos. Un
ejemplo de isometría en un espacio euclídeo de tres dimensio-
nes son las rotaciones. Pues bien, un corolario del Theorema
Egregium es que entre dos superficies solo existen isometrías si
aquellas tienen la misma curvatura gaussiana. Un ejemplo muy
ilustrativo es el siguiente: una esfera de radio R tiene curvatura
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constante gaussiana que es igual a R - , mientras que el plano

APORTACIONES EN GEOMETRÍA Y EN FÍSICA 139