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Como ejemplo de la importancia que el gran matemático ale-
mán concedía a esta parte de las matemáticas, Bemhard Riemann,
el alumno más destacado de Gauss, dedicó su tesis doctoral, a pe-
tición de su director, el propio Gauss, a la geometría y versó sobre
generalizaciones de geometría no euclídea.

APORTACIONES A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Aunque Gauss no publicó nada sobre geometría no euclídea, ello
no significa que no produjera importantes trabajos en geometría.
De hecho, en 1827 publicó una obra fundamental sobre geometría
diferencial, usando elementos del análisis matemático. El libro,
titulado Disquisitiones generales circa supe1jicies curvas (Dis-
quisiciones' generales sobre supe1jicies curvas), fruto de las ideas
sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones
geodésicas, constituye la cont1ibución definitiva de Gauss a la
geometría diferencial. En este trabajo Gauss creó la geometría
diferencial de superficies, iniciando un programa completado por
el trabajo de muchos matemáticos en décadas posteriores. El pro-
blema que da origen a sus ideas es cómo conseguir proyectar en un
mapa plano la geometría de otros tipos de superficies. En los casos
más sencillos (los de curvatura constante) aparecen las geometrías
homogéneas: euclídea, elíptica e hiperbólica ( que fue la que desa-
rrollaron Bolyai y Lobachevski). Gauss fue mucho más allá de estos
espacios homogéneos e introdujo lo que en la actualidad se deno-
mina curvatura de Gauss, una generalización para superficies de
la curvatura definida en el plano.
Este concepto le permitió hallar el llamado Theorema Egre-
gium (teorema destacable), un resultado fundamental de la geo-
metría diferencial. Informalmente, el teorema dice que la curvatura
gaussiana de una superficie dif erenciable puede determinarse por
completo midiendo ángulos y distancias sobre la propia superfi-
cie, sin hacer referencia a la forma particular en que se curva den-
tro del espacio euclídeo tridimensional. Es decir, el concepto de
curvatura es una propiedad local.

138 APORTACIONES EN GEOMETRÍA Y EN FÍSICA