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- Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos com-
prendidos también iguales son congruentes, es decir, tie-
nen todos los ángulos y todos los lados iguales y, por tanto,
tienen la misma forma y tamaño.

Euclides había asumido que todos los postulados eran eviden-
tes y no requerían demostración y así se había aceptado a lo largo
de la historia. Tal es así que Kant, en su Crítica de la razón pura,
había afirmado que los conceptos de Euclides eran un compo-
nente esencial de nuestra visión del mundo. Sin embargo, resultó
que el último postulado es en cierto modo independiente y se
puede negar sin entrar en contradicción con los anteriores. La
idea es definir de una nueva forma el significado de líneas parale-
las, trasladando el concepto a espacios no planos.
A partir de 1813, Gauss elaboró una geometría que negaba el
último postulado de Euclides, desarrollando ideas que había te-
nido durante sus años de estudio en el Collegium Carolinum en
charlas con su amigo Wolfgang von Bolyai. De hecho, en 1816, se
las expresó por carta a Schumacher, amigo y profesor de astrono-
mía. Pero, una vez más, no publicó nada sobre el tema. Puede
haber varias razones para esta negativa de Gauss para publicar
sobre el tema y no entrar en discusiones públicas sobre la cues-
tión. Obviamente todo lo que fuera discutir los postulados de
Euclides sería objeto de controversia y polémica, y a Gauss no le
gustaba verse envuelto en este tipo de discusiones, que le pare-
cían, además, más de tipo filosófico que matemático.
Cuando en 1831 János Bolyai (1802-1860), hijo de Wolfgang, le
expuso sus ideas sobre una geometría no euclídea, Gauss le res-
pondió que «no puedo alabar su trabajo porque al hacerlo me ala-
baría a mí mismo, ya que las ideas que me expone coinciden con
las que yo desarrollé treinta o treinta y cinco años antes». Sin em-
bargo, Gauss reconoció a János Bolyai y a Nikolái Lobachevski,
otro de los creadores de la geometría no euclídea, como genios de
primera magnitud. Tal es así que aprendió ruso para poder leer
todos los trabajos de Lobachevski en su lengua original. Además,
consiguió que en 1842 fuera nombrado miembro de la Academia de
Gotinga Hoy en día todos reconocen a Gauss, Lobachevski y János

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