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base para encontrar nuevas soluciones más cercanas a la solución
real del problema.
El método de mínimos cuadrados creado por Gauss es una
técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimiza-
ción matemática. El objetivo es encontrar la función que mejor
se ajuste a unos datos dados. La idea matemática es la siguiente:
sean (x¡, y¡), (x , y ), . • . , (x Y,) unas parejas de datos obtenidos
,
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de observaciones reales de una variable X y otra Y. Suponemos
ahora que entre la variable X e Y existe una relación definida por
una función!, de forma quef(xJ =Yi· Para el caso del planeta
Ceres que estudió Gauss, las parejas estaban formadas por la
situación en el espacio (variable Y) y el tiempo (variable X).
Determinar la trayectoria del planeta era equivalente a encon-
trar la forma de la función f, de manera que introduciendo el
dato del tiempo (x), pudiésemos calcular su situación (y), a
partir del valor def(x). Lo que busca el método es encontrar la
función que haga mínimos los errores o residuos, que se definen
como la diferencia entre el valor real de la variable Y (la posi-
ción del planeta) y su estimación por medio de la función f. Di-
chos errores se notan como e;= yi- f (xJ La idea es que la suma
de estos errores sea lo menor posible. Para que los errores no se
compensen entre los negativos y los positivos, lo que se hace es
elevarlos al cuadrado, procedimiento que cuenta con la ventaja
adicional de que reduce la importancia de los errores más pe-
queños, la mayoría de ellos debidos a imprecisiones en la toma
de datos. Así pues, el problema de los mínimos cuadrados se
reduce a encontrar la función f de manera que se minimice la
suma de los cuadrados de los residuos, o sea que:
" " 2
¿e;= ¿(Yi -f(xJ) sea mínima.
i-1 i-1
Este problema es equivalente a encontrar el mínimo del error
cuadrático medio, es decir, minimizar la función:
fe; = I~-1 (Yi - f (x;))2
;.1 n n
84 UN MÉTODO PARA ENCONTRAR PLAN ET AS