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EL CONJUNTO DE NÚMEROS PRIMOS ES INFINITO
Se hace por reducción al absurdo. Suponemos, en primer lugar, que el con-
junto de los números primos es finito, o sea P = {2, 3, ... , P¡, ... , Pn} es el conjun-
to de todos los primos que existen y Pn es el mayor de ellos. Se considera el
producto de todos ellos más uno, o sea calculamos q=2 ·3· ... ·p¡' ... "Pn +l. Este
número es obviamente mayor que 1 y que pn, por lo que no puede ser primo,
pues entonces tendríamos un primo mayor que el máximo Pn· Así pues, hay
que suponer por el contrario que q es un número compuesto. Como todo
número compuesto se puede descomponer en producto de números primos
menores que él, eso significa que todos los factores primos de q están en el
conjunto de primos P. Por tanto, existe al menos un elemento del conjunto P,
que notamos por P,, que divide a q. Pero por construcción P; también divide
al producto 2 · 3 · ... · P¡ · ... · Pn, ya que P; es uno de los factores de ese produc-
to. Lo que significa que P; divide a q y a q-1, por lo que debe dividir a su di-
ferencia que es 1, pero ningún número primo mayor que 1 divide a l. Es decir,
se ha llegado a un absurdo. La consecuencia es que el conjunto P que se es-
cogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a
él, y por tanto el conjunto de números primos es infinito.

J

Con la argumentación de Euclides se desvanecía la posibi-
lidad de construir una tabla que contuviera todos los números
primos, y por tanto la posibilidad de encontrar la forma mágica
que nos permitiera describirlos se desvanece. Mucho más fuerte
que el resultado de Euclides es el que demostró Euler en 1737, que
dice que la suma de los recíprocos de los números primos diverge.
Lo que expresado mediante fórmula matemática queda:

lim ( 2 !) = oo con p primo .
• 1:-:::0 ps..,: p

Obviamente, de ese resultado ya se puede deducir que el nú-
mero de p1imos es infinito, ya que para que una suma sea infinita
necesita, necesariamente, tener un número infinito de términos (y
a dicha conclusión se llega, por cierto, sin necesidad de hacer la
suma; simplemente por medio de un razonamiento lógico).

PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS 99