Page 102 - 11 Gauss

Fermat trató de determinar algunas de las propiedades de los
primos que, como 5, 13, 17 o 29, al dividirlos por 4 dan de resto l.
Tales números se pueden escribir como suma de cuadrados
2
2
2
2
(13=3 +2 , 29 =2 +5 , etc.). Así que Fermat conjeturó que la sun1a
de cuadrados daba números primos e incluso afirmó poseer una
demostración. Efectivamente, Fermat era muy dado a construir
conjeturas y a sobreestimar su capacidad de demostrarlas, ya que
2
2
por ejemplo 25 = 4 + 3 no es primo. De hecho, como ya se ha co-
mentado, muchos matemáticos de esa generación no proporciona-
ban la demostración de propiedades que decían haber descubierto.
El día de Navidad de 1640, Fermat escribió sobre su descu-
brimiento ( que ciertos primos se podían expresar como suma de
cuadrados) en una carta que envió al monje Marin Mersenne, que
era también músico. Mersenne era interlocutor habitual de mu-
chos matemáticos de la época y tuvo correspondencia con casi
todos los franceses e incluso alguno de fuera, como Galileo Galilei
(1564-1642). El grupo de matemáticos que se unieron a través de la
correspondencia con Mersenne fue el germen de la Academia de
Ciencias de París.
Mersenne también se interesó por la cuestión de construir nú-
meros primos e ideó una fórmula que se reveló más útil que las
pensadas por Fermat. Partía de considerar las potencias de 2, pero
en lugar de sumar 1 al resultado como hacía Fermat con sus pri-
mos, decidió restarlo. Por ejemplo 2 - 1 = 7, que es primo. Mer-
3
senne descubrió en seguida que su fórmula no siempre daba un
número primo, ya que 2 - 1 = 15, que no es primo. Entendió que
4
necesitaba alguna condición adicional e impuso que la potencia de
2 fuese a su vez un número primo. Así afirmó que para valores
de n no superiores a 257, los números de la forma 2"-1 eran pri-
mos si y solo si n era primo. O sea, una caracterización matemá-
tica, pues contiene una condición necesaria y suficiente. Su
teorema tenía una única excepción pues 2 - 1 =2047, que es el
11
producto de 23 por 89, así que no es primo. Y en matemáticas, la
excepción no confirma la regla. En consecuencia, el teorema era
falso. Lo que sigue siendo un misterio es cómo pudo afirmar Mer-
senne que 2 -1 era primo, dado que es un número de setenta y
257
siete cifras, absolutamente fuera de sus posibilidades de cálculo.

102 PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS