Page 112 - 15 Arquimedes

Las veinte primeras proposiciones tienen un carácter auxiliar
para las proposiciones 21 a 32, que son los resultados importantes
del tratado. En Sobre los conoides y los esferoides se aprecia un
cálculo integral incipiente. Se introducen los conceptos básicos
para poder abordar un problema de volúmenes de curvas de revo-
lución mediante la integración definida; sin embargo, no se llega-
ría hasta este punto debido a que no había sido introducido aún el
concepto de límite. Así, la idea de base presente en el texto es
trocear los sólidos de revolución en pequeños cilindros, tantos
como se quieran, hasta acercarse lo más posible a rellenarlo ( ago-
tamiento) o cubrirlo (compresión). Por tanto, Arquímedes usó
Ilustración de la
proposición 19 de aquí en todo su esplendor el método de exhaución. De esta ma-
Sobre los nera, lo único que necesitaba era demostrar que, efectivan1ente,
conoides y los
esferoides. Se podía acotar el paraboloide por exceso y por defecto, algo que
aprecia cómo el expresa, por ejemplo, en la proposición 19: «Es posible inscribir
paraboloide se
divide en cilindros una figura sólida y circunscribir otra compuesta de cilindros de la
muy planos a
modo de cortes, misma altura, de modo que la figura circunscrita exceda a la ins-
tanto interiores crita en una magnitud menor que cualquier magnitud sólida pro-
como exteriores al
volumen. puesta». Es decir, se encaja el paraboloide en un cilindro y se
corta el cilindro en «rodajas» de la
misma altura (pequeños cilindros
achatados, más anchos que altos,
a modo de pastillas). Estas rodajas
se cortan por pares, de tal manera
que una esté inscrita en el parabo-
loide (por dentro) y la otra cir-
cunscrita (por fuera). El volumen
del paraboloide será un valor in-
termedio entre el volumen total de
las rodajas que circunscriben y las
rodajas que inscriben. Como se
muestra en la figura, a mayor nú-
mero de rodajas (menor altura por
cada una) más aproximado será el
valor del volumen calculado. La
idea es muy parecida a la usada en
la cuadratura de la circunferencia.

112 EL DEFENSOR DEL CÍRCULO