Page 179 - EMY SOHILAIT DASAR KALKULUS

Contoh soal dan penyelesaiannya :

Gunakan aturan l’Hopital untuk membuktikan bahwa :

sinx 1  cosx
a) lim  0 c) lim
x 0 x x 0 x

2
x  9 x  3x  10
2
b) lim d) lim
2
2
x 3 x  x  6 x 2  x  4x  4
Penyelesaian :
sinx D sinx 1  cosx D (1  cosx)
a) lim  lim x c. lim  lim x
x 0 x x 0 D x x x 0 x x 0 D x x



lim cosx  1 lim sinx  0
x 0 1 x 0 1
x  9 2x x  3x  10 2x  3
2
2
b) lim  lim d. lim  lim
2
2
x 3 x  x  6 x 3 2x  1 x 2  x  4x  4 x 2  2x  4
6
 

5

15.3. Teorena Nilai Rata-rata Cauchy

Andaikan f dan g fungsi yang terdiferensialkan pada selang (a, b) dan kontinu
pada selang [a, b]. Apabila g (x)  0 untuk semua x di (a, b), maka ada bilangan c

dalam selang (a, b) sehingga f(b)  f(a)  f ' (c) .
g(b)  g(a) g '  
c)
Bukti aturan l’Hopital :

Adanya lim [f ' (x)/g ' (x) ] mengandung pula sifat adanya f (x) dan g (x) paling sedikit
x a 

dalam lingkungan (a, b) dari a dan bahwa kita hanya mengetahui lim f(x)= 0 dan
x a 

lim g(x)  0 . Sehingga dapat didefinisikan bahwa f(a) =0 dan g(a) = 0. Dengan
x a 
demikian f dan g kontinu (kanan) di a. Ini semua perlu agar f dan g memenuhi syarat-

syarat dalam teorema nilai rata-rata Cauchy pada selang [a, b]. Dengan demikian

maka ada c dalam (a, b) sehingga f(b)  f(a)  f ' (c)
g(b)  g(a) g '  
c)
f(b) f ' (c)
Oleh karena f(a) = 0 = g(a), maka 
g(b) g '  
c)

180