Page 106 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

−1
−1
−1
= = ( … 2 +1 )( ) … ( ) ( ) .
2
1 2
1
2
Berdasarkan Teorema 3, banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda
satu, sehingga mempunyai orbit sejumlah genap sekaligus ganjil. Kontradiksi dengan
banyaknya orbit dari adalah yang sudah ditentukan ganjil atau genap.
Definisi 6
Suatu permutasi dari himpunan berhingga dikatakan:

i) Permutasi genap apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah genap transposisi.
ii) Permutasi ganjil apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil transposisi

✍ Contoh 6:

Permutasi identitas di merupakan permutasi genap karena =

(1,2)(2,1). Jika = 1, maka tidak dapat diekspresikan sebagai perkalian

transposisi, tetapi disepakati sebagai permutasi genap.

✍ Contoh 7:

Permutasi = (1,3,56) (2,7,4) di dapat dinyatakan sebagai
7
= (1,3,56) (2,7,4) = (1,6) (1,5)(1,3)(2,4)(2,7). Sehingga merupakan
permutasi ganjil.

Teorema 5
Jika ≥ 2 maka banyaknya permutasi genap dan permutasi ganjil di sama.

Bukti:
Misalkan = { ∈ | permutasi genap} dan = { ∈ | permutasi ganjil}.

Ambil = (1,2).
Definisikan : → dengan ( )= untuk setiap ∈ .

Karena permutasi genap maka berdasarkan Teorema 3 = (1,2) merupakan
permutasi ganjil dengan demikian jelas bahwa ∈ .

i) Ambil sebarang , ∈ dengan ( ) = ( ).

Maka (1,2) = (1,2) .
Karena grup maka = .

Jadi injektif.

100