Page 103 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

1 2 3 4
= ( ) di S mempunyai orbit {1}, {2}, {3}, {4}. merupakan cycle
1 2 3 4 4
karena tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen.

Suatu cycle disimbolkan dengan ( , , … , ) yang berarti → , →
2

2
1
1
2
, … , 1 → , → . Pada Contoh 3, cycle ∈ S disimbolkan dengan =

1
3
5

{1,3,4} yang berarti 1 → 3, 3 →4, 4 → 1, 2 → 2, 5 → 5. Cycle ∈ S pada Contoh 4.
4
Cycle dalam suatu permutasi terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari permutasi
tersebut. Karena di dalam cycle, urutan diperhatikan sedangkan pada orbit urutan tidak
diperhatikan, maka pada Contoh 3 orbit {1,3,4} = {1,4,3} = {4,1,3} dan seterusnya,
tetapi cycle yang terbentuk dari permutasi tersebut adalah (1,3,4). Cycle (1,3,4)
mempunyai arti yang sama dengan (4,13) dan (3,14) tetapi tidak dapat disimbolkan
dengan (3,14). Dua buah cycle dinamakan saling aing apabila berasal dari dua orbit

yang saling asing.

Teorema 2

Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang paling asing.

Bukti:
Misalkan O ,O , … ,O adalah orbit-orbit dari

2
1
Jadi O ∩ O = ∅ apabila ≠ .

( ) apabila ∈ O
Dibentuk cycle μ , = 1,2, … , dengan μ ( ) = {
apabila ∉ O
Di tunjukkan = μ μ …μ .
1 2
Ambil sebarang ∈ .

Maka sebarang ∈ O untuk tepat satu nilai .

Diperoleh (μ μ , …μ ) ( ) = (μ μ …μ μ μ …μ ) ( )
1 2 1 2 −1 +1
= μ μ …μ (μ ( ))
1 2 −1
= μ ( )

= ( )
Jad = μ μ , …μ .
1 2
Karena O ,O , … ,O saling asing maka μ μ , …μ merupakan cycle yang saling asing.
1

2
1 2

Pada umumnya pergandaan (perkalian) permutasi tidak bersifat komutatif.
Tetapi khusus cycle- cycle yang saling asing hasil perkaliannya bersifat komutatif.

97