Page 105 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu.

Kasus 2
dan berada pada orbit yang sama dari .

Seperti pada kasus 1, misalkan = μ μ , …μ .
1 2
Misalkan dan berada pada μ .
1
Maka = ( , , … , −1 , , +1 , … , , −1 , , +1 , … , )μ , …μ .

2
1

2

Diperoleh = ( , , … , −1 , , +1 , … , , −1 , , +1 , … , )μ , …μ .
2
1

2

= ( , … , −1 , , +1 , … , ) ( +1 , … , , −1 , )μ , …μ .
1, 2

2

Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit berbeda satu.
Berdasarkan kasus 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa banyaknya orbit dari dan
banyaknya orbit dari berbeda 1.
Berdasarkan Teorema 3 dapat di tunjukkan bahwa banyaknya setiap
permutasi hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil atau sejumlah
genap saja transposisi. Selengkapnya mengenai hal tersebut dituangkan dalam
Teorema 4.

Teorema 4

Tidak ada permutasi di yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil sekaligus sejumlah

genap transposisi.
Bukti:

Andaikan terdapat ∈ yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali dari sejumlah ganjil

sekaligus sejumlah genap transposisi.
Maka terdapat transposisi , ∈ sehingga:

i) = … 2 +1 untuk suatu bilangan bulat positif .
1 2
ii) = … untuk suatu bilangan bulat positif .

2
1 2
Karena setiap permutasi mempunyai invers maka dari i) dan ii) diperoleh:
−1
−1
′
−1
i) −1 = ( 2 +1 ) ( 2 ) −1 … ( ) ( )
2
1
−1
−1
′
−1
ii) −1 = ( ) ( 2 −1 ) −1 … ( ) ( )
1
2
2
′
′
Dengan mengalikan i) dan ii) diperoleh:
−1
−1
1
−1
= = ( … 2 +1 )( ) … ( ) ( ) .
2
1 2
2
1
Hal ini menunjukkan bahwa dapat diekspresikan sebagai jumlah ganjil transposisi.
Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh:
99