Page 104 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Dengan demikian, urutan orbit-orbit O ,O , … ,O yang kemudian membentuk cycle-
2
1

cycle μ μ , …μ sebagaimana dituliskan pada pembuktian Teorema 2 tidak
1 2
diperhatikan.

Definisi 5
Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi.

✍ Contoh 5:

Tunjukkan cycle = (3,5) ∈ merupakan transposisi.
6
Penyelesaian:

Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi-transposisi dengan

aturan ( … , ) = ( )( ) … ( , ). Aturan tersebut
1, −1
1,
2
1,
1,
2,
,

1
2
3
1
2
berlaku karena pada ruas kanan → , → , … , → . Demikian
3
2
1

1
2
pula pada ruas kiri → , → , … , → . Untuk cycle identitas
dapat dinyatakan sebagai = (1,2) (2,1) = (1,3)(3,1) = (2,5)(5,2) dan
sebagainya.

Teorema 3
Jika = dan transposisi di maka orbit dari dan banyaknya orbit dari berbeda 1.

Bukti:
Misalkan = ( , )
Kasus 1
dan berada pada orbit yang berlainan dari .
Misalkan terdapat orbit dari yang menghasilkan cycle saling asing μ μ , …μ .
1 2
Karena perkalian cycle saling asing bersifat komutatif maka dapat dimisalkan berada pada
μ dan berada pada μ .
1 2
Dengan demikian

= ( , , … , −1 , , +1 , … , )( , … , −1 , , +1 , … , ) μ , …μ .

1, 2

1
2

3
Diperoleh
= ( , )( , , … , −1 , , +1 , … , ) ( , … , −1 , , +1 , … , ) μ , …μ .
1

1, 2
2
3

= ( , … , −1 , , +1 , … , , , , … , −1 , , +1 , … , )μ , …μ .
1, 2

1
2

3

98