Page 99 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Definisi 1

Suatu permutasi dari himpunan didefinisikan sebagai pemetaan bijektif dari ke .

✍ Contoh 1:

Jika = {1,2,3,4} maka permutasi dari himpunan antara lain:
1 2 3 4
Permutasi dan masing-masing dinotasikan dengan = ( ) dan
2 1 3 4
4 2 3 4
= ( )
1 2 1 3

Teorema 1
Misalkan himpunan tak kosong dan = { | permutasi dari }. Maka

merupakan grup terhadap komposisi fungsi.

Bukti:
i) Ambil sebarang , ∈

1
2
Ditunjukkan ∈ .

1 2
Ambil sebarang , ∈ dengan ≠ .

Diperoleh ( )( ) = ( ( )) dan ( ( )).
1 2
2
1
1
2
Karena injektif dan ≠ maka ( ) ≠ ( ).
2
2
2
Karena injektif dan ( ) ≠ ( ) maka ( ( )) ≠ ( ( )).
1
2
2
2
1
1
2
Jadi ( )( ) ≠ ( )( ).
1 2
1 2
Dengan demikian injektif.
1 2
Ambil sebarang ∈ .
Karena surjektif mata terdapat ∈ sehingga ( ) = .
1
1
Karena ∈ dan surjektif maka terdapat ∈ sehingga ( )( ) = .
1 2
2
Dengan demikian surjektif.
1 2
93