Page 94 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method
P. 94
Grup grup dinamakan grup siklik apabila terdapat ∈ sehingga =
{ | ∈ ℤ}. Selanjutnya = { | ∈ ℤ} disimbolkan dengan ⟨ ⟩ dan elemen
dinamakan pembangun (generator).
Diketahui grup dan ∈ . Order dari didefinisikan sebagai banyaknya elemen
⟨ ⟩ disimbolkan dengan ( ) = |〈 〉|. Jika 〈 〉 tak hingga maka dikatakan berorder
tak hingga.
Sifat-sifat grup siklik:
1) Setiap grup siklik adalah komutatif
2) Setiap grup siklik merupakan grup abelian
3) Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik
4) Jika dan bilangan bulat positif dan = { + | , ∈ ℤ} maka subgrup
dari ℤ terhadap penjumlahan
Himpunan semua bilangan bulat ℤ, berlaku suatu aturan yang dikenal dengan
algoritma pembagian. Jika bilangan bulat positif maka untuk sebarang bilangan
bulat terdapat dengan tunggal bilangan bulat dan sehingga = + dengan
0 ≤ <m.
2. Latihan
1) Diberikan grup siklik dengan urutan . Jelaskan bagaimana Anda dapat
menentukan apakah grup memiliki subgrup dari urutan tertentu di mana adalah
pembagi dari . Sertakan argumen dan konsep yang mendukung jawaban Anda.
2) Misalkan ℤ adalah himpunan bilangan bulat modulo 12. Tentukan semua elemen
12
dari ℤ yang dapat menjadi generator dari grup siklik ℤ .
12
12
3) Misalkan adalah grup siklik yang dihasilkan oleh elemen , yaitu = 〈 〉. Jika
| | = 12. Tunjukkan semua subgrup dan buktikan bahwa setiap subgrup dari
juga merupakan grup siklik.
4) Misalkan adalah subgrup dari grup siklik yang dihasilkan oleh elemen . Jika
dihasilkan oleh elemen , tunjukkan bahwa = | | .
( ,| |)
3. Umpan balik dan tindak lanjut
88
