Page 92 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Terdapat dan bilangan bulat positif jelas tidak kosong.

i) Tertutup
+ , + ∈
1
2
2
1
Maka ( + ) + ( + ∈)
1
2
1
2
= + + +
2
1
1
2
= ( + ) + ( + ) ∈
2
2
1
1
ii) Invers
∀ + ∈ , ∃ − + −
Sehingga + + (− + − )
= 0 + 0 ∈
Karena tertutup dan invers maka ≤ 〈ℤ, +〉.
Karena ℤ terhadap operasi penjumlahan merupakan grup siklik maka
berdasarkan Teorema 3 merupakan grup siklik. Jadi = { + | , ∈ ℤ} =
〈 〉 untuk suatu ∈ ℤ.

Definisi 3

Misalkan dan bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif sehingga 〈 〉 = { + | , ∈ ℤ}

dinamakan FPB dari dan . Disimbolkan dan s. Disimbolkan = ( , )

Definisi 3 mempunyai makna sama dengan FPB yang biasa dikenal pada

bilangan bulat. Untuk melihat hubungan tersebut, misalkan = + untuk
1
1
suatu , ∈ ℤ. Pemisalan d = + merupakan langkah yang sah karena ∈
1
1
1
1
〈 〉 = = { + | , ∈ ℤ}.
Diperoleh:
i) Karena = 1. + 0. dan = 0. + 1. maka , ∈ 〈 〉
Akibatnya = dan =qd untuk suatu , ∈ ℤ.

Ini berarti bahwa | dan | , sehingga dapat dikatakan adalah FPB dari

dan .
ii) Misalkan ∈ ℤ dengan | dan |

Makas |( + )| = .
1
1
Ini berarti bahwa untuk sebarang faktor persekutuan dari dan maka | .
Jadi merupakan faktor persekutuan yang terbesar (FPB).

86