Page 88 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method
P. 88
membantu kita memahami bagaimana pengulangan elemen-elemen ini dapat
membentuk pola periodik dan bagaimana hal ini dapat diterapkan dalam teori angka,
kriptografi, dan bidang lainnya. Dengan demikian, menggabungkan definisi formal
grup siklik dengan pendekatan kreatif dapat memperkaya pemahaman kita dan
membuka jalan bagi penemuan baru dalam matematika dan aplikasinya.
Definisi 1
Grup grup dinamakan grup siklik apabila terdapat ∈ sehingga = { | ∈ ℤ}. Selanjutnya =
{ | ∈ ℤ} disimbolkan dengan ⟨ ⟩ dan elemen dinamakan pembangun (generator).
✍ Contoh 1:
= {3 | ∈ ℤ} = {… , −3,0,3, … } membentuk grup siklik terhadap operasi
penjumlahan dengan generator 3. Untuk sebarang bilangan bulat membentuk
grup siklik ℤ dengan generator .
✍ Contoh 2:
〈ℤ , +〉 merupakan grup dengan generator 1 atau 2 atau 3 atau 4.
Definisi 2
Diketahui grup dan ∈ . Order dari didefinisikan sebagai banyaknya elemen ⟨ ⟩ disimbolkan
dengan ( ) = |〈 〉|. Jika 〈 〉 tak hingga maka dikatakan berorder tak hingga.
Berdasarkan Definisi 2 dapat ditunjukkan bahwa apabila ∈ dan ( ) =
maka merupakan bilangan positif terkecil sehingga = .
1. Klasifikasi grup siklik
Misalkan grup siklik dengan generator .
Pandang dua kasus berikut.
Kasus 1.
mempunyai elemen berhingga banyaknya, yakni berorder berhingga.
82
