Page 89 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method
P. 89
Karena mempunyai elemen sebanyak berhingga maka terdapat bilangan bulat positif
sedemikian hingga = . Akibatnya terdapat bilangan bulat positif terkecil
sedemikian hingga = . Ambil ∈ sebarang. Dengan algoritma pembagian
bilangan bulat , di ℤ sedemikian hingga = + dengan 0 ≤ < . Jadi =
+ = ( ) = = , 0 ≤ < . Akibatnya untuk setiap ∈ terdapat
3
2
dengan tunggal ∈ ℤ, 0 ≤ < sehingga = . Jadi = { , , , −1 , =
} dengan bilangan bulat positif terkecil sehingga = .
Kasus 2.
mempunyai elemen tak berhingga banyaknya, yakni order dari tak berhingga.
Klaim: untuk setiap ℎ, di ℤ dan ℎ ≠ berlaku ≠ .
ℎ
ℎ
Andaikan = untuk suatu ℎ, di ℤ dengan ℎ > .
ℎ −
ℎ
Jadi, = ⟺ = = − (sifat operasi biner pada )
⟺ ℎ− = − (sifat perpangkatan)
⟺ ℎ− = (sifat elemen invers)
Karena ℎ > maka pilih = ℎ − > 0. Jadi terdapat bilangan positif sedemikian
hingga = .
Akibatnya terdapat bilangan positif terkecil sedemikian hingga = .
3
2
Berdasarkan Kasus 1 di atas diperoleh = { , , , −1 , = }. Kontradiksi
dengan tak berhingga.
ℎ
Jadi haruslah untuk setiap ℎ, di ℤ dan ℎ ≠ berlaku ≠ .
2. Sifat-sifat grup siklik
Teorema 1
Setiap grup siklik adalah komutatif.
Bukti:
Misalkan grup siklik dengan generator .
Ambil , di sebarang. Karena = { | ∈ ℤ} maka = dan = untuk
suatu , di ℤ.
Berarti = = + = + = = .
Jadi untuk setiap , di berlaku = .
Teorema 1 tidak berlaku sebaliknya.
83
