Page 90 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method
P. 90
✍ Contoh 2:
〈ℚ, +〉 merupakan grup komutatif tetapi tidak siklik.
Teorema 2
Setiap grup siklik merupakan grup abelian.
Bukti:
Misalkan grup siklik dengan generator .
Ambil sebarang , ∈ .
Maka terdapat bilangan bulat dan sehingga = dan =
Diperoleh = = + = = .
Jadi grup abelian.
Pada himpunan semua bilangan bulat ℤ, berlaku suatu aturan yang dikenal
dengan algoritma pembagian.
Algoritma Pembagian
Jika bilangan bulat positif maka untuk sebarang bilangan bulat terdapat dengan tunggal bilangan
bulat dan sehingga = + dengan 0 ≤ <m.
✍ Contoh 3:
Misalkan diambil = 5
Untuk = 19 dapat dinyatakan sebagai 19 = 5.3 + 4
Untuk = −3 dapat dinyatakan sebagai −3 = 5. (−1) + 2
Menggunakan bantuan algoritma pembagian dapat dibuktikan teorema
berikut.
Teorema 3
Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.
Bukti:
Misalkan grup siklik dengan generator , yaitu = 〈 〉, dan subgrup .
84
