Page 91 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method
P. 91
i) Jika = { } maka = 〈 〉 siklik
Jadi siklik.
ii) Jika ≠ { }
Maka terdapat ∈ .
Misalkan adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga ∈ .
Ditunjukkan = 〈 〉 ,
Ambil sebarang ∈ .
Karena ⊂ maka = untuk suatu bilangan bulat p.
Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat dan
sehingga = + dengan 0 ≤ < m.
Diperoleh = +
⟺ =
−
⟺ =
−
⟺ = ( )
−
Karena , ∈ dan subgrup maka ( ) ∈ .
Jadi ∈ .
Karena bilangan positif terkecil sehingga ∈ dan 0 ≤ < m maka haruslah
= 0.
Dengan demikian =
Jadi = ( )
Jadi terbukti bahwa = 〈 〉 .
Berdasarkan i) dan ii) dapat disimpulkan bahwa setiap subgrup dari grup siklik
merupakan grup siklik.
Selanjutnya dikaji sifat-sifat grup siklik dikaitkan dengan faktor persekutuan
terbesar (FPB) dua bilangan bulat.
Teorema 4
Jika dan bilangan bulat positif dan = { + | , ∈ ℤ} maka subgrup dari ℤ terhadap
penjumlahan.
Bukti:
Jelas bahwa bilangan bulat positif merupakan himpunan bilangan bulat. Jadi jelas
himpunan bagian ℤ.
85
