Page 78 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

mungkin mulai dengan contoh subgrup yang sederhana, seperti subgrup dari bilangan

bulat di bawah penjumlahan, kemudian mengembangkan ide ini ke dalam struktur
yang lebih kompleks seperti grup matriks atau grup permutasi. Proses ini tidak hanya

memperdalam pemahaman kita tentang teori grup tetapi juga mengasah keterampilan
kita dalam berpikir abstrak dan kreatif.

Definisi 1

Jika grup dan ⊂ maka dinamakan subgrup apabila merupakan grup terhadap operasi yang

didefinisikan pada .

Subgrup biasa disimbolkan dengan <. Jadi < berarti merupakan

subgrup . Setiap grup minimal mempunyai dua subgrup yaitu { } dan . { }
disebut subgrup trivial dan disebut subgrup tak sejati (improper subgroup) dari .

Subgrup selain { } dan dinamakan subgrup sejati.

✍ Contoh 1:

= {1, −1, , − } dengan = √−1, terhadap operasi perkalian merupakan
suatu grup.

Penyelesaian:

Himpunan bagian dari yaitu = {−1,1}
Hasil kali 1 dan −1 yaitu −1 berada dalam , sifat asosiatif jelas berlaku.

Elemen identitas adalah 1 dan setiap elemen dari mempunyai invers, yaitu:

 (−1) −1 = −1

 1 −1 = 1
⊂ , 〈 ,∗〉 suatu grup dan 〈 ,∗〉 merupakan grup, sehingga adalah

subgrup dari .

1. Sifat-sifat subgrup

Teorema 1

Diketahui grup dan ⊂ .

subgrup jika dan hanya jika:

72