Page 81 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

1) Akan dibuktikan bahwa (ℝ) ≠ ∅ dan (ℝ) ⊂ (ℝ). Ambil
2
2
2

sebarang ∈ (ℝ) maka = ( 1 2 4 ) dengan , , , ∈ ℝ dan
3
4
1
2
2
3
| | = 1. Matriks berukuran 2 × 2, artinya memenuhi syarat bentuk
elemen di (ℝ). Entri-entri matriks , , , ∈ ℝ dan determinan
2
3
4
1
2
matriks | | = 1 ≠ 0, artinya memenuhi syarat elemen di (ℝ). Dengan
2
demikian untuk setiap ∈ (ℝ) berlaku ∈ (ℝ). Artinya (ℝ) ⊂
2
2
2
1 0
(ℝ). Himpunan (ℝ) memuat ( ) ∈ (ℝ), artinya (ℝ) ≠
2
2
0 1 2 2
∅.
2) Akan dibuktikan untuk setiap , ℎ ∈ (ℝ) berlaku ℎ −1 ∈ (ℝ).
2
2
1 2 ℎ ℎ
Ambil sebarang , ℎ∈ (ℝ) maka = ( 3 4 ), ℎ = ( ℎ 1 ℎ 2 ) dengan
2
4
3
, , ∈ ℝ, ℎ , ℎ , ℎ ∈ ℝ, | | = 1, dan |ℎ| = 1. Untuk dapat
3
2
1
2
1
3
−1
membuktikan ℎ −1 ∈ (ℝ), kita perlu ℎ . Dapat menghitung ℎ −1 =
2
ℎ −ℎ 1 2 ℎ −ℎ
( 1 2 ). Perhatikan bahwa ℎ −1 = ( ) ( 1 2 ) =
−ℎ 3 ℎ 4 3 4 −ℎ 3 ℎ 4
ℎ − ℎ ℎ − ℎ
−1
( 1 4 2 3 2 1 1 2 ). Matriks ℎ berukuran 2 × 2, artinya
ℎ − ℎ ℎ − ℎ
3 4
4 3
4 1
3 4
memenuhi syarat bentuk elemen di (ℝ). Entri-entri matriks ℎ
−1
2
−1
merupakan bilangan real dan berdasarkan sifat determinan, | ℎ | =
−1
−1
| || ℎ | = | | = 1. Dengan demikian ℎ memenuhi syarat elemen di
|ℎ|
(ℝ), artinya ℎ −1 ∈ (ℝ). Jadi terbukti (ℝ) merupakan subgrup
2
2
2
dari (ℝ).
2
2. 〈ℚ, +〉 merupakan subgrup dari 〈ℝ, +〉.
̅ ̅ ̅
3. = {0, 2, 4} merupakan subgrup dari ℤ terhadap operasi penjumlahan.
6
̃
4. Misalkan = { | : ℝ → ℝ} dan = { ∈ | ( ) ≠ 0 untuk setiap ∈ ℝ}.
Didefinisikan operasi + pada dan operasi ⋅ pada dengan aturan sebagai berikut:
1) ( + )( ) = ( ) + ( ) untuk setiap ∈ ℝ
2) ( ⋅ ) = ( ) ⋅ ( ) untuk setiap

2. Forum diskusi Case Method
Judul Kasus: Menunjukkan Subgrup dari Grup Tertentu
75