Page 80 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Teorema 2
Diketahui grup dan ⊂ .

subgrup jika dan hanya jika −1 ∈ untuk setiap , ∈

Bukti:
⟹ diketahui subgrup

Ambil sebarang , ∈

Karena subgrup maka −1 ∈
Akibatnya −1 ∈

⇐ diketahui −1 ∈ untuk setiap , ∈
1) Ambil sebarang ∈

Berdasarkan yang diketahui = −1 ∈

Jadi memuat elemen identitas
2) Ambil sebarang , ∈

Berdasarkan 1) diperoleh ∈

Sesuai dengan yang diketahui −1 = −1 ∈
Akibatnya = ( −1 −1 ∈
)
Jadi sifat tertutup dipenuhi di
3) Ambil sebarang ∈

Karena ∈ maka −1 = −1 ∈

Jadi setiap ∈ mempunyai invers di
4) Sifat asosiatif dipenuhi di karena ⊂

Dari 1) sampai dengan 4) dapat bahwa subgrup

✍ Contoh 1:

1. Buktikan ℝ merupakan subgrup dari ℝ menggunakan Teorema 2.
2
2
Penyelesaian:
Dituliskan terlebih dahulu definisi kedua himpunan tersebut.

(ℝ) = { = ( 1 2 4 ) | , , , ∈ ℝ, dan| | ≠ 0}
1
2
4
3
2
3

(ℝ) = { = ( 1 2 ) | , , , ∈ ℝ, dan| | = 0}
2
3 4 1 2 3 4

74