Page 79 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

1. tertutup terhadap operasi pada

2. ∈
3. −1 ∈ untuk setiap ∈

Bukti:

⟹ diketahui subgrup
Jelas 1,2,3 dipenuhi.

⇐ diketahui 1,2,3

Untuk menunjukkan subgrup tinggal ditunjukkan berlakunya sifat asosiatif.
Tetapi karena ⊂ dan sifat asosiatif berlaku pada maka sifat asosiatif

berlaku pada .
Jadi terbukti bahwa subgrup .

✍ Contoh 2:

Diberikan = {( , )| , ∈ ℝ, ≠ 0} dan definisikan ( , ) ∗ ( , ) =

( + , ) untuk setiap ( , ); ( , ) ∈ . Telah dibuktikan bahwa 〈 ,∗〉
meru[akan grup. Buktikan bahwa {( , ) ∈ | > 0} merupakan subgrup

dari .

Penyelesaian:
Ambil sebarang ( , ) ∈ maka ( , ) ∈ , artinya ⊂

1) Telah dibuktikan bahwa elemen identitas adalah = (0,1). Karena
(0,1) ∈ dan 1 > 0 maka (0,1) ∈ , artinya ∈ .

2) Ambil sebarang ( , ) dan ( , ) elemen maka ( , ); ( , ) ∈
2
1
1
1
2
1
2
2
dan , > 0. Kita peroleh ( , ) +( , ) = ( + , )
1 2
1 2
1
2
1
1
2
1
2
karena ( , ); ( , ) ∈ maka ( , ) + ( , ) ∈ dan karena
1
1
2
2
1
1
1
2
, > 0 maka , > 0, dengan demikian ( , ) + ( , ) ∈ .
1
1
1
2
2
2
1
2
3) Ambil sebarang ( , ) ∈ maka ( , ) ∈ dan > 0. Karena grup
1
maka ( , ) −1 ∈ dan ( , ) −1 = (− , ). Diketahui juga > 0

1
berakibat 1 > 0. Karena ( , ) −1 = (− , ) ∈ dan 1 > 0

maka( , ) −1 ∈ .
Berdasarkan 1), 2), 3) terbukti bahwa adalah subgrup dari .
Salah satu cara lain yang lebih sederhana untuk membuktikan suatu himpunan
bagian merupakan subgrup atau bukan adalah dengan menggunakan teorema berikut.
73