Page 28 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU

+
1 1.3.5...(2k 1) 1
P k 1 < Û < (2)
+
+
+
+
2k 3 2.4.6...(2k 2) 2k 3
+
+
2k 1 2k 1
Với mọi số nguyên dương k ta có : < (3)
+
+
2k 2 2k 3
Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta được bất đẳng thức (2). Vậy " n Î Z + ta có
-
1.3.5...(2n 1) 1
P = <
n
+
2.4.6...2n 2n 1
3
a 2 b 2 a + b 3
95. Biến đổi tương đương : a + b £ + Û a + b £
b a ab
( a + b)(a - ab + b) 2
Û a + b £ Û ab £ - ab + b Û ( a - b ) ³ 0 (đúng).
a
ab
ì x - 4(x 1) ³ 0
-
ï
<
ï x + 4(x 1) ³ 0 é 1 x < 2
-
96. Điều kiện : í Û ê
ï x - 4(x 1) > 0 ë x > 2
-
2
ï
¹
-
î x 1 0
2 2
Xét trên hai khoảng 1 < x < 2 và x > 2. Kết quả : A = và A=
-
1 x x-1
2
105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A
2
-
Cách 3 : Đặt 2x 1 = y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y .
2
2
2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 y + 1 2y y + 1 2y y 1 y 1
-
+
-
-
+
-
-
+
A = - = - = -
2 2 2 2 2 2
1
Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1), A = (y 1 y 1) = 2 .
+
-
+
2
1 1 2y
-
-
+
+
Với 0 ≤ y < 1 (tức là ≤ x < 1), A = (y 1 y 1) = = y 2 = 4x 2 .
2 2 2
-
108. Nếu 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2 2 . Nếu x ≥ 4 thì A = 2 x 2 .
-
109. Biến đổi : x y 2 + 2 = x + y . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được :
+
2(x y 2) = xy . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0.
+
-
Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2.
110. Biến đổi tương đương :
2
2
(1) Û a + b + c + d + 2 (a + b 2 )( c + d 2 ) ≥ a + c + 2ac + b + d + 2bd
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Û (a + b 2 )( c + d 2 ) ≥ ac + bd (2)
* Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh.
* Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với :
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
(a + b )(c + d ) ≥ a c + b d + 2abcd Û a c + a d + b c + b d ≥ a c + b d + 2abcd
2
Û (ad – bc) ≥ 0 (3). Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
111. Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy :
27 www.MATHVN.com