Page 30 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU

2
2
(a + c )(c + b ) ≥ (ac + cb) Þ (a + c 2 )( c + b 2 ) ≥ ac + cb (1)
2
2
2
2
2
2
2
Tương tự : (a + d 2 )(d + b 2 ) ≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm.
x
114. Lời giải sai : A = + x = æ x + 1 ö 2 - 1 ³ - 1 . Vaäy minA = - 1 .
÷
ç
è 2 ø 4 4 4
1 1
Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ - , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -
4 4
1
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = - . Vô lí.
2
Lời giải đúng : Để tồn tại x phải có x ≥ 0. Do đó A = x + x ≥ 0. min A = 0 Û x = 0.
2
(x a)(x b) x + ax+bx+ab æ ab ö
+
+
115. Ta có A = = = ç x + ÷ + (a b).
+
x x è x ø
ab 2
)
Theo bất đẳng thức Cauchy : x + ³ 2 ab nên A ≥ 2 ab + a + b = ( a + b .
x
ì ab
( ) 2 ï x =
min A = a + b khi và chi khi í x Û x = ab .
ï x > 0
î
2
2
116. Ta xét biểu thức phụ : A = (2x + 3y) . Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
2
2
2
(am + bn) ≤ (a + b )(m + n ) (1)
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
2
2
2
2
2
2
2
2
A = (2x + 3y) ≤ (2 + 3 )(x + y ) = 13(x + y ).
2
2
Vói cách trên ta không chỉ ra được hằng số α mà A ≤ α. Bây giờ, ta viết A dưới dạng :
)
2
2
A = ( 2. 2x + 3. 3y rồi áp dụng (1) ta có :
2
ù é
2
2
2
3
2
2
2
A = é ( ) ( ) ( x 2 ) ( y 3 ) 2 ù = (2 3)(2x + 3y ) 5.5 25
+
£
=
+
+
ê ú ê ú
û ë
û
ë
ì x = y
y
2
Do A ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 Û í Û x = = - 1
+
î 2x 3y = 5
ì x = y
=
max A = 5 Û í Û x = y 1
+
î 2x 3y = 5
2
-
117. Điều kiện x ≤ 2. Đặt 2 x = y ≥ 0, ta có : y = 2 – x.
2
2
y
-
=
a 2 y + = - æ y - 1 ö + 9 £ 9 Þ maxA= 9 Û y = 1 Û x = 7
ç
÷
è 2 ø 4 4 4 2 4
118. Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 Û x ≥ 1.
2
Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + 2 15x - 13x 2 (3)
+
2
+
Rút gọn : 2 – 7x = 2 15x - 13x 2 . Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7.
2
2
2
Bình phương hai vế : 4 – 28x + 49x = 4(15x – 13x + 2) Û 11x – 24x + 4 = 0
(11x – 2)(x – 2) = 0 Û x 1 = 2/11 ; x 2 = 2.
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
119. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành :
29 www.MATHVN.com