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Razonamiento Matemático 4° Secundaria

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SEMANA

Ecuación Diofántica
Se llama ecuación diofántica a aquella ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre
el conjunto de números enteros o en los números naturales, es decir, se trata de ecuaciones cuya soluciones
son números enteros.

Ejemplo
Un ejemplo de ecuación diofántica es x + y = 5.
Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las
ecuaciones que aparecen en los problemas que tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos. Por ejemplo
en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos cuatro
soluciones para (x; y):
(1; 4), (2; 3), (3; 2) y (4; 1).

Ecuación diofántica lineal
La ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución en los números enteros si y solo si d=MCD (a, b) es
un divisor de c. Para resolver una ecuación diofántica se utilizan diversos criterios, desde un simple tanteo
hasta criterios de multiplicidad.

Multiplicidad

1. Si N es múltiplo de n
o
Si N = n → N = nk, k ∈ ℤ
o
n : se lee múltiplo de n

o
Ejemplo: N  3
N = 3k = {...–3; 0; 3; 6; 9}

2. Si N no es múltiplo de n

o o
Si N = n + r o N = n – r
e
d

Donde: r + r = n
e
d

r : residuo por defecto
d
r : residuo por exceso
e

Ejemplo:
20 no es múltiplo de 6, luego podemos expresarlo como 20=6×3+2 o 20=6×4 – 4 donde 2 + 4 = 6.

Principio de multiplicidad

o o o o o
1. n n n... n n   
o o o o
Ejemplo: 3 3 3   3

o o o
2. n n n 
o o o
Ejemplo: 7 7  7

o o
3. kn  n, k 
  o
o
Ejemplo: 2 7  7

1 Bimestre -217-
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