Page 84 - ASTRONOMI DAN ASTROFISIKA

HUKUM III KEPPLER

Untuk pembuktian hukum ke-3 ini yang termudah adalah menganggap lintasan
planet berupa lingkaran. Pada lintasan lingkaran ini benda mengalami gaya
2
sentripetal sebesar F = -GMm/r , di mana M adalah massa pusat benda di orbit
(Matahari), m adalah massa benda yang mengorbit (planet) dan r merupakan jarak
kedua benda tersebut.
Kita telah ketahui rumus untuk percepatan gravitasi pada sebuah benda (planet
F
maupun bintang) memenuhi persamaan gravitasi Newton dimana a  , maka :
m
GMm
a  g 
r 2 (4.50)

v 2  2 r 2
F  ma = m = m
r r

= m 2 r

  2
2 
= m  r
 T 

4 2 r m
= (4.51)
T 2
atau :
GMm 4 2 r m 2 4 2 r 3
 dan diperoleh rumus T  (4.52)
r 2 T 2 GM

r 3
Sehingga didapatkan perbandingan :  k ; dimana k adalah suatu konstanta.
T 2
Pada sistem Matahari dan benda-benda yang mengitarinya dapat digunakan rumus :

2
r  T
3

dengan r dalam AU dan T dalam tahun. Sedangkan untuk sistem ekstrasolar dengan
bintang bermassa M kali massa Matahari memiliki hubungan :

2
MT  r (4.53)
3

Astronomi dan Astrofisika 83