Page 16 - I.[TL]

DY BQ CN DY DY 1

Áp dụng định lý Menelaus, ta có: . .  1  .2.1 1     2
BY CQ DN BY BY 2

Từ   1 và   2  X  Y

 Bốn điểm M , , ,Q đồng phẳng.
P
N
Câu 21. Cho tứ diện ABCD, các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD. Gọi P , Q lần lượt
   
là các điểm trên đường thẳng AD, BC sao cho PA 3PD , QB  3QC . Chứng minh rằng 4
điểm M , N , P , Q đồng phẳng.
Lời giải
        


Từ giả thiết PA 3PD ta có: MA MP  3 MD MP  MP  1  3MD MA  .

2
   1  

Tương tự QB  3QC  MQ   3MC  MB .
2
  3  

Từ đó suy ra MP MQ   MC  MD (do M là trung điểm của AB )
2
3  
 .2MN  3MN (Do N là trung điểm của CD).
2
  
Suy ra ba vectơ MP , MQ , MN đồng phẳng hay bốn điểm M , N , P ,Q đồng phẳng.

P
,
Câu 22. Cho tứ diện ABCD, các điểm M N lần lượt là trung điểm của AB ,CD . Gọi ,Q lần lượt là
   
N
các điểm thỏa mãn PA  kPD , QB  kQC  k  1 . Chứng minh M , , ,Q đồng phẳng.
P
Lời giải.
     



Ta có PA  kPD  MA MP  k MD MP
  A
 MA kMD
 MP  .
1k  
   MA kMC M P
Tương tự QB  kQC  MQ 
1k
    B
  MA kMD  MB kMC

Suy ra MP  MQ  D
1k Q N





 k  MC  MD ( Do MA  MB  
0 )
k  1 C
Mặt khác N là trung điểm của CD nên
     2k    
,
,
MC MD  2MN  MP MQ  MN suy ra ba vec tơ MP MQ MN đồng phẳng, hay bốn điểm
k  1
M , , ,Q đồng phẳng.
N
P

Trang 15