Page 107 - 수학(상)

예제 06 선분의 길이의 합의 최솟값

,
,
^
^
두 점 A 12h , B 42h 와 x 축 위의 점 P 에 대하여 AP + BP 의 최솟값을 구하시오.
점 B 를 x 축에 대칭시킨 점을 Bl이라 하면 B 4 - 2h 이다. y A 개념 다지기
,
l^
BP = PBl 이므로 AP + BP = AP + PBl 이며 2 B 선분의 길이의 합의 최솟값은
오른쪽 그림과 같이 AP + BP 는 x 축 위의 점 P 가 두 점 중 한 점을 대칭축에
선대칭이동시킨 두 점
직선 ABl 위에 있을 때, 최솟값을 가진다. O 1 P 4 x
따라서 AP + BP 의 최솟값을 l 이라 하면 사이의 거리이다.
l
l = AP + BP = AP + PB = ABl - 2 Bl
2
2
5
2
= ] 4 - g 2 ] 2 2 = 3 + 4 = 25 = 이다.
1 + -- g
예제 07 두 점에서 거리의 제곱의 합의 최솟값
2
2
두 점 A - , 12h , B 24h 와 y 축 위의 점 P 에 대하여 AP + BP 의 최솟값과
,
^
^
그때의 점 P 의 좌표를 구하시오.
점 P 가 y 축 위의 점이므로 점 P 의 좌표를 0 ^ , bh 라 하면 개념 다지기
2
2
4 =
AP + BP = " 0 - - 1g, 2 + ] b - g 2 0 - g 2 b - g 2 b 2 - 12 b + 25 점 P 의 y 좌표는 두 점
2
]
2 + ]
2 + ]
9
2
9 +
2
= 2] b - b 6 + - g 25 = ] b - g 2 7 , AB 의 y 좌표의 중점이다.
3 + 이다.
2
2
,
따라서 AP + BP 은 b = 일 때 최솟값 7 을 갖고, 그때의 점 P 의 좌표는 03g 이다.
3
]
꼼수풀이 도형의 성질 이용 (등급 UP 06 참조)

2 + 4
점 P 의 y 좌표는 두 점 ,AB 의 y 좌표의 중점이므로 점 P 의 좌표는 0 b , l = ] , 03g 이다.
2
2
2
따라서 AP + BP = " 0 - - 1g, 2 + ] 3 - 2 + ]g 2 0 - 2 + ]g 2 3 - g 2 7 이다.
4 =
]
예제 08 세 점에서 거리의 제곱의 합의 최솟값
2
2
2
,
,
^
^
세 점 A 34h , B - , 2 - 1h , C 56h 에 대하여 AP + BP + CP 의 최솟값과
^
그때의 점 P 의 좌표를 구하시오.
,
P 의 좌표를 abh 라 하면 개념 다지기
^
2
2
2
,
AP + BP + CP = ] a - g 2 b - g 2 a - - 2g, 2 + " b - - 1g, 2 + ] a - g 2 b - 6g 2 세 점 ,AB C 에 대하여
]
]
3 + ]
4 + "
5 + ]
2
2
2
AP + BP + CP 이 최솟값
2
9
4
2
9 +
2
3
= 3 a - 12 a + b 3 - 18 b + 91 = ] a - 4 a + - 4 + ]g 3 b - b 6 + - g 91
2
을 가질 때, 점 P 는 세 점
3 +
= 3] a - 2 + ]g 2 3 b - g 2 52 이다. , AB C 를 꼭짓점으로
,
2
2
2
따라서 AP + BP + CP 은 a = 2 , b = 일 때 최솟값 52 을 갖고, 하는 삼각형의 무게중심이다.
3
,
그때의 점 P 의 좌표는 23h 이다.
^
꼼수풀이 도형의 성질 이용 (등급 UP 06 참조)

점 P 가 삼각형 ABC 의 무게중심이므로
3 -+ 5 4 -+ 6
1
2
점 P 의 좌표는 b , l = ] 2, 3g 이다.
3 3
2
2
2
따라서 AP + BP + CP = ] 2 - 3 + ]g 2 3 - g 2 2 - - 2g, 2 + " 3 - - 1g, 2 + ] 2 - 5 + ]g 2 3 - g 2 52 이고 ,
6 =
]
]
4 + "
,
그때의 점 P 의 좌표는 23h 이다.
^
102 Ⅲ . 도형의 방정식