Page 108 - 수학(상)
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예제 09 삼각형의 외심의 좌표와 외접원의 반지름의 길이
세 점 A - , 26h , B 1 - 3h , C 55h 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 외심 P 의 좌표와
,
,
^
^
^
외접원의 반지름 r 의 길이를 구하시오.
,
P 의 좌표를 abh 라 하면 PA = PB = PC 이다. A 개념 다지기
^
C
2
2
1 ]g PA = PB 에서 PA = PB r 삼각형 ABC 의 외심을 ,P
r
2 + ]
] a + g 2 b - g 2 a - 1 + ]g 2 b + 3g 2 외접원의 반지름을 r 라 하면
6 = ]
P 1 ]g 삼각형의 외심은 각 꼭짓점으로
2
1
2
2
a + 4 a + + b - 12 b + 36 = a - 2 a + + b + b 6 + 9
4
2
r 부터 같은 거리에 있다. 단원
a - b 3 + 5 = 0 gg ① 07
2 ]g r = PA = PB = PC 이다.
2
2 ]g PA = PC 에서 PA = PC 2
평
] a + g 2 b - g 2 a - 5 + ]g 2 b - 5g 2 B
2 + ]
6 = ]
면
4
2
a + 4 a + + b - 12 b + 36 = a - 10 a + 25 + b - 10 b + 25
2
2
2
좌
7 a -- 5 = 0 gg ②
b
표
따라서 ① , ②에서 a = 1 , b = 이므로 외심 P 의 좌표는 ,12h 이고
2
^
6 =
외접원의 반지름의 길이는 r = PA = ] 1 + g 2 2 - g 2 25 = 이다.
5
2 + ]
예제 10 삼각형의 중선 정리
8
오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC 에서 AB = 6 , BC = 10 , AC = 이고 A
점 M 이 선분 BC 의 중점일 때, 선분 AM 의 길이를 구하시오. 6 8
M
B C
10
점 M 이 BC 의 중점이므로 BM = 이다. 개념 다지기
5
삼각형의 중선 정리에 의하여 삼각형의 중선 정리 (단계 UP 06 참조)
2
2
2
2
AB + AC = 2] AM + BM g 이므로 삼각형 ABC 의 변 BC 의 중점을
2
2
2
6 + 8 = 2^ AM + 5 h 에서 AM = 25 이다. M 이라 할 때,
2
2
2
2
2
2
AB + AC = ^ AM + BM h 이다.
2
따라서 AM = 이다.
5
예제 11 삼각형의 중선 정리 응용
오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC 에서 점 ,DE 는 선분 BC 의 A
삼등분점이고 AB = 5 , BC = 6 , AC = 4 , AD = , aAE = 일 때, 5 4
b
a b
2
a + b 의 값을 구하시오.
2
B D E C
6
1
6
삼각형 ABC 에서 BC = 이고 점 ,DE 는 선분 BC 의 삼등분점이므로 BD = DE = EC = 3 # 6 = 이다.
2
2
2
2
2
1 ]g 삼각형 ABE 에서 중선 정리에 의하여 AB + AE = 2] AD + BD g 이므로
2
2
2
2
2
2
5 + b = ] a + 2 g 에서 a2 2 - b = 17 gg ①
2
2
2
2
2 ]g 삼각형 ADC 에서 중선 정리에 의하여 AD + AC = 2] AE + DE g 이므로
a + 4 = ] b + 2 g 에서 b2 - a = 8 gg ②
2
2
2
2
2
2
2
2
따라서 ① + ②를 하면 a + b = 25 이다.
2
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