Page 33 - 수학(상)

등급 UP 02 대칭식과 교대식의 인수분해 쉽게 하기

. 1 대칭식
) 1 대칭식의 뜻
,
,
,
,
다항식 f xy zh에 대하여 두 변수를 서로 바꾸어도 식이 변함이 없을 때, f xy zh를 대칭식이라 한다.
^
^
,
,
3
예를 들어 f xy z = x + y + z - 3 xyz 는 f xy z = f^ , yx zh 를 만족하므로 대칭식이다.
3
,
,
3
,
h
^
h
^
) 2 대칭식의 인수분해 요령
3 개의 변수의 기본대칭식은 x ++ , zxy + yz + zxxyz 이다.
y
,
1 차식 2 차식 3 차식
1 ]g 다항식 f xy zh 가 ,xy z 에 대하여 2 차식인 경우
,
,
,
^
,
p x ++
f^ , xy z = ^ y z + ^h 2 q xy + yz + zxh 로 놓고 항등식으로 푼다.
h
,
,
예 다항식 f xy z = x + y + z + 2^ xy + yz + zxh 를 인수분해해 보자.
2
2
2
h
^
,
,
,
1단계 f xy z = f^ , yx zh 를 만족하므로 대칭식이다.
h
^
2
2단계 f xy z = x + y + z + 2^ xy + yz + zx = ^h p x ++ z + ^h 2 q xy + yz + zxh 이다.
2
,
,
y
2
^
h
,
f 100 = 1 = , p f 11 0 = 4 = 4 p + 에서 p = 1 , q = 이다.
,
q
0
,
,
h
^
h
^
,
,
2
2
y
2
2
따라서 f xy z = x + y + z + 2^ xy + yz + zx = ^h x ++ zh 이다.
^
h
,
,
,
2 ]g 다항식 f xy zh 가 ,xy z 에 대하여 3 차식인 경우
^
y
p x ++
zxy +
,
r xyzh 로 놓고 항등식으로 푼다.
h
h
f^ , xy z = ^ y z + ^h 3 q x ++ h ^ yz + zx + ^
이때 f xy zh 가 x + yh 의 인수를 가지면 대칭식의 성질에 의해 y + , zh ] z + xg 의 인수도 가지므로
,
,
^
^
^
,
]
^
y y + h
f^ , xy zh 는 x + h ^ z z + xg 의 인수를 갖는다.
,
,
z z +
h
^
^
k x + h
따라서 f xy z = ^ y y + h ] xg 로 놓으면 더 간단히 풀 수 있다.
3
3
3
,
,
예 f xy z = x + y + z - 3 xyz 를 인수분해해 보자.
h
^
,
,
,
1단계 f xy z = f^ , yx zh 를 만족하므로 대칭식이다.
h
^
p x ++
,
y
,
zxy +
2단계 f xy z = x + y + z - 3 xyz = ^ y z + ^h 3 q x ++ h ^ yz + zx + ^
3
3
3
r xyzh 이다.
h
h
^
,
,
,
,
,
f 100 = 1 = , p f 11 0 = 2 = 8 p + , q 2 f 2 - , 1 - h 0 = r 2 에서
1 =
^
h
^
^
h
p = 1 , q =- 3 , r = 이다.
0
따라서
y
y
,
z xy +
3
3
z -
3
f^ , xy z = x + y + z - 3 xyz = ^ x ++ h 3 3^ x ++ h ^ yz + zxh
h
y
y
z -
= ^ x ++ z ^h" x ++ h 2 3^ xy + yz + zxh,
2
y
zx +
2
= ^ x ++ h ^ 2 y + z - xy - yz - zxh 이다.
,
,
y z +
x
y
z
예 f xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 3 xyz + ++ 를 인수분해해 보자.
^
x y + ^
z x + ]
h
xy xy
,, z 에 대하여 1 차식
,, z 에 대하여 3 차식
,
,
1단계 f xy z = f^ , yx zh 를 만족하므로 대칭식이다.
,
^
h
y z +
,
,
h
2단계 g xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 3 xyz 라 하면
z x + ]
^
x y + ^
y z +
,
,
^
z x + ]
h
x y + ^
g xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 3 xyz
zxy +
p x ++
y
r xyzh 이다.
h
= ^ y z + ^h 3 q x ++ h ^ yz + zx + ^
,
,
,
,
,
f 100 = 0 = , p f 11 0 = 2 = 8 p + , q 2 f 2 - , 1 - h 0 = r 2 에서
1 =
h
h
^
^
^
p = 0 , q = 1 , r = 이므로
0
zxy +
y
y z +
,
,
h
g xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 3 xyz = ^ x ++ h ^ yz + zxh 이다.
x y + ^
^
z x + ]
,
zxy +
,
x
,
y
x
따라서 f xy z = g^ , xy z + ++ z = ^ x ++ h ^ yz + zxh ++ + z
y
y
h
^
h
y
zxy +
= ^ x ++ h ^ yz + zx + 1h 이다.
028 Ⅰ. 다항식