Page 34 - 수학(상)

y z +
,
,
x y + ^
^
예 f xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 2 xyz 를 인수분해해 보자.
h
z x + ]
,
,
,
1단계 f xy z = f^ , yx zh 를 만족하므로 대칭식이다.
^
h
,
,
2단계 주어진 식에 x =- 를 대입하면 f - , yy z = 이므로 f xy zh 는 x + 를 인수로 가지며
,
y
y
0
h
^
^
,
,
대칭식의 성질에 의해 y + , zh ] z + xg 의 인수도 가지므로 f xy zh 는 x + h ^ z z + xg 의
^
^
^
y y + h
]
인수를 갖는다. 단원
02
z z +
,
,
y z +
3단계 f xy z = ^ y + h 2 z + g 2 x + h 2 2 xyz = ^ y y + h ] xg 이다.
^
x y + ^
k x + h
^
h
z x + ]
나
,
,
,
,
따라서 f 11 1 = 8 = k 8 에서 k = 이므로 f xy z = ^ x + h ^ z z + xg 이다.
1
^
^
h
y y + h
h
]
머
지
3 ]g 다항식 f xy zh 가 ,xy z 에 대하여 4 차식인 경우
,
,
,
^
정
y
p x ++
y
,
z xyzh 로 놓고
f^ , xy z = ^ y z + ^h 4 q x ++ z ^h 2 xy + yz + zx + ^h r xy + yz + zx + ^h 2 s x ++ h ^ 리
h
와
,
,
항등식으로 푼다. 이때 f xy zh 가 x + h ^ z z + xg 의 인수를 가질 때는
y y + h
]
^
^
인
,
k x ++ h
h
^
f^ , xy z = ^ y zx + h ^ zz + xg 로 놓으면 더 간단히 풀 수 있다.
]
yy + h
수
분
2. 교대식 해
) 1 교대식의 뜻
,
,
다항식 f xy zh 에 대하여 두 변수를 서로 바꿀 경우 원래의 식과 부호가 반대일 때,
^
,
,
,
y z
2
f^ , xy zh 를 교대식이라 한다. 예를 들어 f xy z = ^ y - h 2 z - g 2 x - h 은
^
h
x y + ^
z x + ]
,
,
h
f^ , xy z =- f^ , yx zh 를 만족하므로 교대식이다.
) 2 교대식의 인수분해 요령
,
,
,
,
y
,
f^ , xy zh 가 ,xy z 에 대하여 3 차 이상의 교대식일 때, f xy z =- f^ , yx zh 에 x = 를 대입하면
h
^
,
,
y
0
,
,
,
,
,
,
,
h
^
h
f^ , yy z =- f^ , yy zh 에서 f yy z + f^ , yy z = , 0 f yy z = 이므로 f xy zh 는 x - 를
^
h
h
^
,
,
^
]
^
인수로 갖는다. 따라서 교대식의 성질에 의해 f xy zh 는 반드시 x - h ^ z z - xg 의 인수를 갖는다.
y y - h
일반적으로 4 차 이상의 교대식은 교대식과 대칭식의 곱으로 인수분해할 수 있다.
,
,
y z 을 인수분해해 보자.
예 f xy z = ^ y - h 2 z - g 2 x - h 2
x y + ^
^
h
z x + ]
,
1단계 f xy z =- f^ , yx zh 를 만족하므로 교대식이다.
,
,
h
^
,
,
x y + ^
h
y y - h
2단계 f xy z = ^ y - h 2 z - g 2 x - h 2 k x - h ^ z z - xg 이므로
]
^
y z = ^
z x + ]
1
,
f 1 - , 1 0 =- 2 = k 2 에서 k =- 이다.
^
h
,
,
y y - h
]
h
z x + ]
x y + ^
y z =-^
따라서 f xy z = ^ y - h 2 z - g 2 x - h 2 x - h ^ z z - xg 이다.
^
2
,
2
2
2
2
2
,
예 f xy z = xy x - y + yz y - z + zx z - x g 을 인수분해해 보자.
^
h
h
h
^
^
]
,
1단계 f xy z =- f^ , yx zh 를 만족하므로 교대식이다.
,
,
^
h
2
y +
2
2
,
2단계 f xy z = xy x - h yz y - h zx z - x g = ^ y zx - h ^ zz - xg 이므로
2
z +
2
,
2
k x ++ h
]
^
h
^
^
]
^
yy - h
,
1
,
1 =
f 21 - h 12 =- 12 k 에서 k =- 이다.
^
,
y
,
zz -
2
z +
2
2
y +
2
2
따라서 f xy z = xy x - h yz y - h zx z - x g =-^ x ++ h ^ yy - h ] xg
2
h
zx - h
^
^
^
]
^
,
,
y z 을 인수분해해 보자.
^
x y + ^
예 f xy z = ^ y - h 3 z - g 3 x - h 3
h
z x + ]
,
,
,
1단계 f xy z =- f^ , yx zh 를 만족하므로 교대식이다.
h
^
y
,
,
zz -
^
^
x y + ^
y z = ^
zx - h
h
2단계 f xy z = ^ y - h 3 z - g 3 x - h 3 k x ++ h ^ yy - h ] xg 이므로
z x + ]
,
,
1
1 =
^
f 21 - h 12 =- 12 k 에서 k =- 이다.
,
y
zz -
,
따라서 f xy z = ^ y - h 3 z - g 3 x - h 3 x ++ h ^ yy - h ] xg 이다.
x y + ^
y z =-^
zx - h
^
^
h
z x + ]
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