Page 42 - Modul Aljabar
P. 42
Jika = adalah system dengan persamaan linear
dalam yang tidak diketahui sehingga det ( ) ≠ 0, maka system
tersebut memiliki solusi unik, yaitu:
det( ) det( ) det( )
1
2
= , = , … , =
1
det( ) 2 det( ) det( )
Dimana adalah matriks yang diperoleh dengan
mengganti entri dalam kolom ke-j dari ke dalam entri matriks.
1
= [ 2 ]
⋮
Dimana:
= Matriks koefisisen (matriks kuadrat)
= Matriks kolom dengan variable
= Matriks kolom dengan konstanta
Pembuktian: Jika det ( ) ≠ 0, maka dapat dibalik, dan dari
teorema diperoleh = adalah solusi unik dari = ,
−1
sehingga:
11 12 … 1 1
−1
= = 1 ( ) = 1 [ 21 22 … 2 ] [ 2 ]
det( ) det( ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 … 1
1
Mengalikan matriks, menghasilkan:
…
1 11
2 12
1
1 …
= [ 1 21 2 22 2 ]
det( ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
…
1
2 1
1 1
Sehingga, entri pada baris ke-j dari x adalah
+ + ⋯ +
1 1
2 2
det ( )
37