Page 42 - Modul Aljabar
P. 42

Jika       =     adalah  system  dengan      persamaan  linear
                        dalam    yang tidak diketahui sehingga det (  ) ≠ 0, maka system

                        tersebut memiliki solusi unik, yaitu:

                                      det(   )      det(   )          det(   )
                                                                              
                                            1
                                                          2
                                   =          ,    =         , … ,    =
                                  1
                                      det(  )   2    det(  )           det(  )
                               Dimana      adalah  matriks  yang  diperoleh  dengan
                        mengganti entri dalam kolom ke-j dari    ke dalam entri matriks.
                                                            1
                                                           
                                                      = [  2 ]
                                                         ⋮
                                                             
                        Dimana:

                           = Matriks koefisisen (matriks kuadrat)

                           = Matriks kolom dengan variable
                           = Matriks kolom dengan konstanta

                        Pembuktian:  Jika  det (  ) ≠ 0, maka      dapat  dibalik,  dan  dari
                        teorema  diperoleh     =        adalah  solusi  unik  dari       =   ,
                                                 −1
                        sehingga:

                                                                11     12  …    1       1
                              −1
                           =       =   1        (  )   =  1  [    21     22  …      2   ] [    2 ]
                                    det(  )           det(  )  ⋮    ⋮    ⋮   ⋮    ⋮
                                                                  1       …      1       
                                                                      1
                        Mengalikan matriks, menghasilkan:

                                                                 …      
                                                  1 11
                                                          2 12
                                                                        1  
                                           1                     …        
                                       =        [  1 21   2 22          2   ]
                                        det(  )    ⋮       ⋮     ⋮     ⋮
                                                                 …      
                                                                          1
                                                          2   1
                                                  1   1
                        Sehingga, entri pada baris ke-j dari x adalah
                                                 +       + ⋯ +      
                                                                         
                                            1 1  
                                                     2 2  
                                           
                                            
                                                     det (  )
                                                      37
   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47