Page 97 - Modul Aljabar

Kita akan buktikan bahwa <u, v> memenuhi keempat
aksioma diatas

1. <u, v> = 3 u 1, v 1 + 2 u 2 v 2
= 3 v 1, u 1 + 2 v 2 u 2

= <v, u>

2. Jika w = (w 1, w 1), maka

< + , > = 3(u 1 + v 1)w 1 + 2 (u 2 + v 2)w 2

= 3 u 1 w 1 + 3 v 1 w 1 + 2 u 2 w 2 + 2 v 2 w 2
= (3 u 1 w 1+ 2 u 2 w 2) + (3 v 1 w 1 + 2 v 2 w 2)
=< , > + ( , >

3. < , > = 3( ) + 2( )
1
1
2
2
= (3 + 2 )
1 1
2 2
= ( , >
4. < , > = 3 + 2
2 2
1 1
= 3 1 2 + 2 2 2 + 0 dan
< , > = 3 + 2
1 1
2 2
= 3 + 2 jika hanya jika = = 0 atau
2
2
= 0
Jadi, < , > = 3 + 2 adalah ruang
2 2
1 1
kali hasil dalam

2. Misal u, v ∈ R3 dengan u = (x1, y1, z1) dan v = (x2, y2, z2).
Jika <u, v> = 3 x1x2 + 5 y1y2 – z1z2. Tentukan <u, v> jika :

a.u = (2, 1, –3) dan v = (5, 0, 2)

<u, v> = <(2, 1, –3), (5, 0, 2)>
= 3.2.5 + 5.1.0 –(–3).2

= 30 + 0 +6 =36

92