Page 137 - Dialectica

La penetraci´ on de los contrarios

I La funci´ on definida es idempotente puesto que N −1 (N x∗N x) =
N −1 N x = x.
C Es conmutativa, puesto que N −1 (N x∗N y) = N −1 (N y∗N x).
A Es asociativa puesto que (N x ∗ N y) ∗ N z = N x ∗ (N y ∗ N z)
por la propiedad A de ∗. Introduciendo N N −1 –la identidad– se
obtiene N N −1 (N x ∗ N y) ∗ N z = N x ∗ N N −1 (N y ∗ N z).
Agregando par´ entesis para mayor claridad y aplicando N −1 re-
sulta N −1 (N (N −1 (N x∗N y))∗N z) = N −1 (N x∗N (N −1 (N y∗
N z))) que es la expresi´ on de la propiedad A para la funci´ on de-
finida.

IR Es invariante en la rotaci´ on puesto que N −1 (R N x ∗ R N y) =
N −1 R(N x ∗ N y) = R N −1 (N x ∗ N y) porque las negaciones
comunes conmutan con R.
PD Se cumple N x . N y ≤ N x∗N y ≤ N x+N y por la propiedad
PD de ∗. Aplicando la negaci´ on N −1 a estas relaciones se obtiene
x + y ≥ N −1 (N x ∗ N y) ≥ x . y que demuestra PD para la
funci´ on definida.

i
Toda negaci´ on com´ un se puede expresar como N = N 0 R y N −1 =
i
i
N 0 R n−i . Luego N −1 (N x ∗ N y) = R n−i N 0 −1 (R N 0 x ∗ R N 0 y) =
i
R n−i N −1 R (N 0 x ∗ N 0 y) = N −1 (N 0 x ∗ N 0 y) puesto que las pene-
0 0
traciones cumplen IR, luego la funci´ on definida es independiente la ne-
gaci´ on com´ un empleada. Este resultado depende de la propiedad con-
mutativa de las negaciones comunes con las rotaciones.
Las funciones penetraci´ on amplia se definen tambi´ en mediante la
siguiente definici´ on.

Definici´ on 26 La funci´ on penetraci´ on amplia ∗ en el reticulado
dial´ ectico L se define como: para x, y < 1 entonces x ∗ y = x . y,
para todo x entonces x ∗ 1 = 1 ∗ x = 1.
La funci´ on penetraci´ on amplia ∗ n se define como: para x, y > 0 en-
tonces x ∗ n y = x + y, para todo x entonces x ∗ n 0 = 0 ∗ n x = 0.
Equivelentemente ∗ n se pude definir por el teorema 42.

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