Page 138 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Las definiciones 25 y 26 coinciden tal como lo muestra el siguiente
teorema.

Teorema 43 La dos definiciones de pentraci´ on amplia, 25 y 26, son
equivalentes.

Demostraci´ on. La Definici´ on 26 cumple con la Definici´ on 25. En
efecto, demostremos ordenadamente las propiedades:

I se cumple por la idempotencia de la suma y del producto.
C se cumple por la conmutativa de la suma y del producto y por la
definiciones expl´ ıcita en los casos 0 y 1 respectivamente.
A se cumple por la propiedad asociativa de la suma y el producto.
Para el caso 1 ocurre que si uno o m´ as de valores que intervienen
es 1 el resultado es 1 de cualquier manera que se los asocie; as´ ı por
ejemplo, x ∗ (y ∗ 1) = x ∗ 1 = 1 y (x ∗ y) ∗ 1 = (x . y)∗1 = 1.
Los dem´ as casos sin similares y lo mismo vale para ∗ n y 0.
IR se cumple porque la suma y el producto son invariables en la
rotaci´ on, tambi´ en lo son 0 y 1.
PD se cumple por definici´ on. As´ ı por ejemplo, x . y ≤ x ∗ y =
x + y ≤ x + y. Para el caso 1 ocurre x = x . 1 ≤ x ∗ 1 = 1 ≤
x + 1 = 1. Lo mismo vale para ∗ n y 0.

La Definici´ on 25 cumple con la Definici´ on 26. Consideremos ahora
los semi–reticulados de la Figura 15 formados por los elementos 0 y 1
y el conjunto D de sus valores dial´ ecticos o de su negaci´ on ND. Por su
estructura es un conjunto parcialmente ordenado por una operaci´ on
≤ de los elementos del reticulado dial´ ectico.
De acuerdo con el Teorema 40 referente a las propiedades de las
funciones con propiedades I, A, C, estas funciones son una suma en un
semi–reticulado definido por esta penetraci´ on. Consideremos el caso
cada semi–reticulado. Analizaremos por orden las propiedades:

I: es inmediata, igual que A y C, puesto que la suma tiene estas
propiedades.
138