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La penetraci´ on de los contrarios

IR: es v´ alida porque D es invariable en la rotaci´ on.

PD: se cumple por una adecuada elecci´ on de los contrarios como se
ve en los ejemplos que siguen.

Luego queda demostrado el teorema.

Figura 15: Semi–reticulados para las funciones penetraci´ on amplia.

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Consideremos dos funciones penetraci´ on, ∗ , ∗ en un reticulado.
Mediante ellas se pueden construir funciones penetraci´ on amplias –que
no cumplen con la propiedad asociativa– mediante la suma.

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Teorema 44 La funci´ on definida como x∗y = x∗ y +x∗ y –donde
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∗ y ∗ son penetraciones que cumplen I, C, A, IR y PD– es una pene-
traci´ on amplia que cumple con I, C, IR y PD pero no con A.
Demostraci´ on. Las propiedades I, C son inmediatas puesto que tan-
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to ∗ como ∗ la cumplen. La propiedad IR tambi´ en porque cada una
la cumple y la suma tambi´ en cumple IR. Sean ahora x, y, se cumplen
las desigualdades:
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x . y ≤ x ∗ y ≤ x + y x . y ≤ x ∗ y ≤ x + y.
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Sea, por ejemplo, x . y ≤ x ∗ y y x . y ≤ x ∗ y de aqu´ ı se deduce,
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por la monoton´ ıa de la suma x . y ≤ x ∗ y + x ∗ y. En forma dual se
demuestra la otra desigualdad. La “suma” de penetraciones no cumple
con A porque en 3Dn –ver Cuadro 11– se cumple (a∗b)∗p = (0+0)∗
p = 0 por PB. En cambio a∗(b∗p) = a∗(0+p) = a∗p = p+0 = p,
con lo cual queda demostrado por la v´ ıa de un contraejemplo.
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