Page 136 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 41 Si S es un semi–reticulado para la operaci´ on +, entonces
la operaci´ on definida x y = x + y posee las propiedades I, A, C.

Demostraci´ on. La demostraci´ on es inmediata: 1) la operaci´ on + es
idempotente; 2) la operaci´ on + es asociativa; 3) la operaci´ on + es con-
mutativa.

Las penetraciones amplias

Establecidos estos resultados, es posible ahora definir la funci´ on
penetraci´ on con car´ acter general.

Definici´ on 25 Se llama funci´ on penetraci´ on amplia, o simplemente
penetraci´ on, a una operaci´ on binaria en un reticulado L, expresada
como x ∗ y, donde x, y ∈ L, que cumple:

1. las propiedades formales I, A, C;

2. el principio de permanencia de propiedades binarias PP;

3. Invariante en rotaci´ on (IR): si x ∗ y = z entonces, si R es una
rotaci´ on de reticulado, se cumple R x ∗ R y = R z.
4. Penetraci´ on dial´ ectica (PD): dos elementos x, y cumplen que
x . y ≤ x ∗ y ≤ x + y.

El siguiente teorema vincula la funci´ on penetraci´ on con las nega-
ciones comunes.

Teorema 42 Si ∗ es una funci´ on penetraci´ on en un reticulado dial´ ecti-
co y N es una negaci´ on com´ un, entonces la funci´ on definida como
∗ n = N −1 (N x ∗ N y) tambi´ en define una penetraci´ on sim´ etrica.
Esta funci´ on es independiente de la negaci´ on N empleada.

Demostraci´ on. Consideremos las propiedades ordenadamente.
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