Page 135 - Dialectica

La penetraci´ on de los contrarios

Definici´ on 24 Un conjunto de elementos S es un semi–reticulado si,
para todo par x, y de sus elementos, existe una operaci´ on x y con las
propiedades:

1. Idempotencia (I). Se cumple que x x = x.

2. Asociativa (A). Se cumple que (x y) z = x (y z).
3. Conmutativa (C). x y = y x.

En un semi–reticulado con una operaci´ on no trivial 120 que tenga
las propiedades I, A, C se pude definir un orden parcial (que justifica el
nombre de semi–reticulado).

Teorema 40 Si es una operaci´ on no trivial, entre elementos de un
conjunto S, que posee las propiedades I, A, C, entonces es un conjunto
parcialmente ordenado que posee la relaci´ on x ≤ y definida como
x y = y. La operaci´ on + est´ a definida por x + y = x y.

Demostraci´ on. La relaci´ on x ≤ y definida como x y = y es una
relaci´ on de orden porque cumple: 1) la idempotencia por la propiedad
I; 2) si x ≤ y y y ≤ x entonces se tiene x = xy = y; 3) la transitividad
porque si x ≤ y y y ≤ z se tiene x y = y, y z = z, pero por la
propiedad A, ocurre xz = x(y z) = (xy)z = y z = z luego
x ≤ z. Falta demostrar que si z ≥ x, z ≥ y entonces z ≥ x+y = xy
–o sea z = z (x y)– para que x + y sea la m´ ınima cota superior. Por
hip´ otesis, z = z x, z = z y luego z = (z x) y = z (x y) por
A, tal como se deb´ ıa demostrar.
Tambi´ en vale el teorema rec´ ıproco. 121

120
La operaci´ on es trivial si cumple que para todo par de elementos x 6= y se cumple
que x y = a, donde a es siempre el mismo elemento del conjunto.
121
Son v´ alidos los teoremas duales en los cuales se define una operaci´ on x . y = xy y
la relaci´ on x ≤ y definida como xy = x. Las demostraciones se realizan de la manera
dual. No obstante esto, en las aplicaciones consideraremos siempre el caso suma.
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