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Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 48 La funci´ on definida, en un reticulado dial´ ectico de rango
r > 1 y una negaci´ on ordinaria N, en la que no existe x tal que
Nx = x (negaci´ on no idempotente), es una funci´ on devenir si cumple
las condiciones: 1) para cada valor dial´ ectico d y la negaci´ on N, d →
N d es una tesis, 2) para los restantes pares de valores dial´ ecticos vale 0
y 3) cumple PP.

Demostraci´ on. En r > 1 y N, por 1), no existe a tal que N a =
a, luego se cumple DM. La propiedad DN se cumple por 2). Si d →
N d = e es una tesis, ocurre que R d → R N d = R d → N R d es
una tesis por la propiedad conmutativa de las negaciones ordinarias y
1), luego se cumple DR. PP se cumple por 3), luego est´ a demostrado.
En la demostraci´ on no interviene el valor dial´ ectico e. 124
Este resultado muestra que hay varias funciones devenir si se tiene
en cuenta solamente a las cadenas y no los valores que toma la funci´ on
devenir. Vale la pena notar que si a → b porque b = N a, tambi´ en
ocurre b → a porque a = N −1 b pero se trata de dos funciones dife-
rentes de devenir, a menos que ocurra N = N −1 o sea, una negaci´ on
involutoria.
Es importante observar que para la negaciones ex´ oticas se cumple
˜
˜
la igualdad R N j = N j R −1 y no se cumple la propiedad DR.
El devenir en Dn
De acuerdo con el teorema de las negaciones en los reticulados Dn,
se pueden construir diversas funciones devenir mediante las negaciones
N 1 , N 2 , . . . as´ ı como por la elecci´ on de los valores que toma la funci´ on.
En la Figura 16 se presentan las tablas de verdad de dos funciones deve-
nir, la primera construida a partir de N 1 y la segunda, a partir de N 2 . 125
Se omiten los 0 en la zona dial´ ectica.
En la primera funci´ on ocurre el ciclo cerrado a → b → c → d → a

124
Una ecuaci´ on gen´ erica de definici´ on de una funci´ on devenir es, por ejemplo, la
expresi´ on d → N i d = R j d para los valores convenientes de j.
125
Las ecuaciones empleadas en las funciones de la Figura 16 son, respectivamente:
d → N 1 d = R d y d → N 2 d = d. Hay otros ejemplos posibles –donde se cambian
los valores de la zona dial´ ectica– que cumplen las propiedades generales del devenir.
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