Page 179 - Dialectica

La implicaci´ on

4. Principio de mezcla (PM): En algunas aplicaciones es deseable
que los valores dial´ ecticos no “se mezclen” al emplear la funci´ on
implicaci´ on en forma reiterada. En forma precisa, existe un sub-
conjunto S no trivial de elementos del reticulado considerado
tales que si x, y ∈ S entonces x ⇒ y ∈ S. 141

La regla PM es de aplicaci´ on especial para el an´ alisis de las ciencias
naturales, tal como se analiza m´ as adelante. Cuando se dice “cumple
con las reglas sem´ anticas” quiere decir “cumple con las reglas sem´ anti-
cas, excepto PM”. La importancia de estas reglas adicionales –que no
son necesarias en la l´ ogica binaria– resultar´ a clara de la exposici´ on que
sigue en este cap´ ıtulo y los siguientes.

No contradicci´ on e independencia de las reglas

La no contradicci´ on de las reglas formales resulta inmediata desde
que la l´ ogica binaria las cumple, luego el conjunto de reglas no es con-
tradictorio. La no contradicci´ on de las reglas sem´ anticas, entre s´ ı y con
las reglas formales, resulta de la existencia de funciones implicaci´ on que
las cumplen. As´ ı por ejemplo, en el reticulado D3 este conjunto de re-
glas permiten encontrar 16 funciones de dos variables que las cumplen,
excepto naturalmente IC y eventualmente PM. 142
La independencia de las reglas –algo que no posee demasiado in-
ter´ es pr´ actico– exige buscar contraejempos de estructuras que cumplan
todas las reglas excepto la (o las) que se desea investigar. 143 Existen va-
rios casos posibles para las reglas de uno u otro tipo:

141
En todo reticulado, S = (0, 1) es un ejemplo v´ alido, es la l´ ogica binaria. En Dn
S = (0, a, 1) o en 2Dn, S = (0, a, b, A, 1) tambi´ en son ejemplos v´ alidos.
142
Este n´ umero fue determinado por una programa que exploraba sistem´ aticamente
todos los casos posibles. En el reticulado D3 una tabla de verdad de dos variables posee
5×5=25 valores a determinar. Cada uno de ellos puede tomar 5 valores, luego hay
5 25 ≈ 2,98 × 10 17 funciones posibles de dos variables. Las funciones implicaci´ on
definidas por las reglas son, naturalmente, muchas menos.
143
Esta manera de demostrar la independencia proviene del c´ elebre trabajo de David
Hilbert (1862, 1943) Grundlagen der Geometrie (1899) [44] (Fundamentos de la geo-
metr´ ıa) donde construy´ o sistem´ aticamente “geometr´ ıas” para demostrar la indepen-
dencia de sus numerosos axiomas. Sin duda Hilbert ha sido el padre del formalismo,
por su obra y por sus propuestas de temas de investigaci´ on.
179