Page 183 - Dialectica

La implicaci´ on

Esta funci´ on implicaci´ on no cumple MT ni MP –por ejemplo, a ⇒
0 = b es una tesis– pero s´ ı cumple MTE. No cumple T, por ejemplo
porque 1 ⇒ a = a y a ⇒ 0 = b son tesis y conducen a que 1 ⇒ 0
es una tesis. No cumple ED, porque a ⇒ 0 = b y b ⇒ 0 = c son tesis
pero 1 = a + b ⇒ 0 no lo es. No cumple PCE, porque para 1 ⇒ a = a
y 1 ⇒ Na = b son tesis pero N1 = 0 no lo es. Por otra parte, cumple
con PNN, ID y EC.
A los efectos de ejemplificar la dependencia de las propiedades con-
sideraremos diversos casos. La regla ID es independiente porque existe
un contraejemplo en D3 y es la funci´ on dada por la tabla de verdad del
Cuadro 25. En efecto, a ⇒ a es una tesis, pero a ⇒ a + b o sea a ⇒ 1
no es una tesis. Las dem´ as reglas se cumplen, excepto naturalmente IC.

Cuadro 25: Funci´ on implicaci´ on en D3 que no cumple ID.
⇒ 0 a b c 1
0 1 0 0 0 1
a 0 a 0 0 0
b 0 0 b 0 0
c 0 0 0 c 0
1 0 0 0 0 1

La regla ED tiene contrajemplos en D3, uno de los cuales se pre-
sentan en el Cuadro 26. En efecto, a + b = 1 es una tesis. a ⇒ a y
b ⇒ a son tesis, pero a + b ⇒ a no es una tesis. Todas las dem´ as reglas
se cumplen, excepto naturalmente IC.
Cuadro 26: Funci´ on implicaci´ on en D3 que no cumple ED.
⇒ 0 a b c 1
0 1 a b c 1
a 0 a c b a
b 0 c b a b
c 0 b a c c
1 0 0 0 0 1

La regla MTE tiene contrajemplos en D3, uno de los cuales se pre-
sentan en el Cuadro 27. En efecto a ⇒ 1 es una tesis, pero 0 ⇒ Na = b
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